Usando el Lema de Roy y la Ley de Walras para demostrar que

Question

Necesito una pista aquí:

Estoy tratando de demostrar que un individuo que tiene preferencias que cumplen con las suposiciones habituales: es decir, que usan las suposiciones, se cumple esto:

$$ x_{l}(p, 1)=\frac{\frac{\partial v(p, 1)}{\partial p_{l}}}{\sum_{k=1}^{L} p_{k} \frac{\partial v(p, 1)}{\partial p_{k}}} \quad \forall l=1, \ldots, L $$

He estado pensando en usar la identidad de Roy, pero me falta algo....

Answer 1

Tienes razón, en este caso, usamos la Identidad de Roy:

$$ x_{l}(p, w)=-\frac{\frac{\partial v(p, w)}{\partial p_{l}}}{\frac{\partial v(p, w)}{\partial w}} $$

Dado que queremos demostrar esto para $w=1$, necesitamos reescribirlo para este caso particular de la siguiente manera:

$$ x_{l}(p, 1)=\frac{\frac{\partial v(p, 1)}{\partial p_{l}}}{-\frac{\partial v(p, 1)}{\partial w}} $$

Para resumir, es suficiente demostrar que:

$$ -\frac{\partial v(p, 1)}{\partial w}=\sum_{k=1}^{L} p_{k} \frac{\partial v(p, 1)}{\partial p_{k}} $$

Para hacerlo, utilizamos la Ley de Walras:

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{L} p_{k} x_{k}(p, w) & =w \\ \sum_{k=1}^{L} p_{k}\left(-\frac{\frac{\partial v(p, w)}{\partial p_{k}}}{\frac{\partial v(p, w)}{\partial w}}\right) & =w \\ \frac{-1}{\frac{\partial v(p, w)}{\partial w}}\left(\sum_{k=1}^{L} p_{k} \frac{\partial v(p, w)}{\partial p_{k}}\right) & =w \\ \sum_{k=1}^{L} p_{k} \frac{\partial v(p, w)}{\partial p_{k}} & =-w \frac{\partial v(p, w)}{\partial w} \end{aligned} $$

Al establecer $w=1$ obtenemos exactamente lo que queríamos demostrar.