Ampliando el Teorema de la Función Implícita para Mostrar la Existencia Global

Question

Supongamos que tengo dos ecuaciones no lineales de un modelo:

$$G_1(x,y,a,b,c)=0$$

$$G_2(x,y,a,b,c)=0$$

Las funciones están definidas en un conjunto $V \subset \mathbb R^5$. Si mostramos que el determinante del Jacobiano es distinto de cero, es decir: $\forall \,\, (x,y,a,b,c) \in V$

$$\frac{\partial G_1}{\partial x}\cdot \frac{\partial G_2}{\partial y} - \frac{\partial G_2}{\partial x}\cdot \frac{\partial G_1}{\partial y} \ne 0$$

¿Es esto suficiente para argumentar que existen funciones $C^1$ únicas $x^*(a,b,c), y^*(a,b,c)$ que satisfacen la solución anterior?

Básicamente, estoy preguntando si, a diferencia del uso habitual de IFT para argumentar la existencia local alrededor de algunos puntos en el dominio, ¿podemos generalizarlo para la existencia general cuando en el caso específico de que la condición suficiente de jacobiano distinto de cero se cumpla en todo el dominio?

Cualquier referencia que respalde la afirmación sería de gran ayuda. Si la respuesta es no, ¿alguna intuición/ejemplo de por qué no se cumpliría? ¿Y qué condición adicional podría garantizar la existencia?

Answer 1

La respuesta a esta interesante pregunta es no, el Teorema de la Función Implícita es un resultado local, y no se puede utilizar para afirmar la existencia de una solución global.

Un contraejemplo simple y común para dos variables es la circunferencia. Considera la circunferencia unitaria con centro en $0$:

$$x^2+y^2=1$$

y considera la función implícita:

$$F(x,y)= x^2+y^2-1=0,\;\;\;\;\tag{1}$$ con $x\in (-1,1)$, de modo que $y\neq0$.

La derivada $\frac{\partial F}{\partial y}$ es en todas partes distinta de cero en el dominio, pero no existe una única función de una variable $y=f(x)$ que haga explícita la ecuación $(1)$, ya que la ecuación tiene dos soluciones:

$$y=\sqrt {1-x^2}$$ y $$y=-\sqrt {1-x^2}$$

es decir, tenemos una función para la parte de la circunferencia sobre el eje $x$ y una función diferente para la parte debajo. $$$$

El tema de las condiciones basadas en el Jacobiano para establecer la existencia de soluciones de sistemas tiene una larga historia y es un asunto complicado.

De la misma manera que el teorema de la función implícita está íntimamente vinculado al Teorema de la Función Inversa (inversión local), la existencia de soluciones globales está vinculada al problema de la inversión global de una función, un tema matemático complejo, también entrelazado con la historia de la economía matemática.

Considera que un resultado importante, el teorema de Gale-Nikaido (1965), se formuló como respuesta a un teorema erróneo establecido por Paul Samuelson: Gale y Nikaido exhibieron un contraejemplo al resultado de Samuelson y elaboraron su propio teorema.

Puedes consultar

Gale, Nikaido, The Jacobian matrix and global univalence of mappings (1965)

y

Parthasarathy, On Global Univalence Theorems, (1983), Springer

Ver también esta discusión en MathStackExchange:

https://math.stackexchange.com/questions/2319134/derivative-based-sufficient-conditions-for-contraction-mappings-for-multivariate.

Un tratamiento más general del problema de la invertibilidad global de una función, cuyo resultado hito es el Teorema de Hadamard-Caccioppoli, se puede encontrar en:

De Marco, Gorni, Zampieri, Global Inversion of Functions. An introduction (1994)

Para un tratamiento profundo del Teorema de la Función Implícita, su desarrollo y generalizaciones, se puede consultar

Krantz, Parks, The Implicit Function Theorem. History, Theory and Applications (2014), Birkhäuser