Linearizar expresiones exponenciales de registros

Question

¿Cómo logaritmizamos una expresión como:

$e^{(\theta*(x_t-\bar{x}))}$

Donde $\theta$ es cualquier constante y $\bar{x}$ es el estado estacionario de $x$

Generalmente, cuando logaritmizamos, digamos, $x_t$, lo escribimos como

$x_t = \bar{x} * e^{(log(X_t-log(\bar{x}))} = 1 + X_t$

donde $x_t = log(x_t-log(\bar{x}))$

Pero en mi problema actual, la expresión en sí es exponencial. ¿Entonces, lo siguiente es correcto?

exp(theta*(X(t)-X_bar)) = exp(exp(theta*(log(X(t)-log(X_bar))) * exp(exp(-theta*(log(X_bar)-log(X_bar))))

lo cual se reduce a exp(exp(theta_x(t))) * exp(1) = exp(1 + exp(theta_x(t))) = 1 + 1 + exp(theta*x(t))

Answer 1

El objetivo de la log-linealización es obtener una expresión que sea lineal en la desviación del estado estacionario $x_t$, donde $x_t:=\log(X_t/X)$, $X$ es el estado estacionario de $X_t$ y tenemos que $X_t = Xe^{x_t} \approx X(1+x_t)$.

El enfoque general de la log-linealización es (1) tomar logaritmos de ambos lados de la ecuación y luego (2) hacer una expansión de serie de Taylor de estas funciones logarítmicas (una en cada lado de la ecuación).

Pero en muchos casos, simplemente sustituir $X(1+x_t)$ por $X_t$ en la expresión te da algo que es lineal en $x_t$ de inmediato, pero no para expresiones exponenciales como en tu ejemplo, como intentaste hacer. Esto es fácil de ver:

$$e^{\theta(X_t-X)} \approx e^{\theta((X(1+x_t)-X)} = e^{\theta Xx_t}$$ claramente no es lineal en $x_t$, por lo que ese enfoque no funcionará. Sin embargo, si $\theta X x_t$ es "pequeño", puedes usar $e^{\theta X x_t}\approx 1 + \theta X x_t$ y listo.

En general, si uno se encuentra con expresiones como las anteriores, o el resultado es no lineal de otra manera, se necesita utilizar el enfoque general. Esto es también lo que se aplica en modelos DSGE en tales casos.

Enfoque general:

Tomar logaritmos, luego hacer una expansión de serie de Taylor. Definir $f(X_t)=\theta(X_t-X)$. $$\log\bigl(e^{\theta(X_t-X)}\bigr)=\theta(X_t-X)\approx f(0) + f'(0)(X_t-X)= 0 + \theta(X_t-X) \approx \theta X x_t$$

Aquí, $\theta X x_t$ es la log-linealización de $e^{\theta(X_t-X)}$. Si $\theta X x_t$ es "pequeño", puedes recuperar la versión a nivel simplemente aplicando la exponencial, lo que te da $$e^{\theta(X_t-X)} \approx 1 + \theta X x_t$$ El enfoque general da una expresión que es lineal en $x_t$. Nota que puedes utilizar una serie de Taylor de orden superior, que también será lineal en $x_t$, para obtener una mejor aproximación y capturar más de la dinámica, lo cual a veces se usa si la expresión es altamente no lineal.