En la mayoría de los libros sobre teoría de subastas, se deja como ejercicio demostrar que la estrategia honesta $s_{i} = v_i$ es una estrategia débilmente dominante y no muy débilmente dominante. Para eliminar la confusión, escribiré la definición de ambas a continuación:
(Def 1a): Una estrategia $s_i \in S_i$ es una estrategia débilmente dominante si domina débilmente a todas las estrategias $t_i \in S_i \setminus \{s_i\} $
(Def 1b): Una estrategia $s_i \in S_i$ domina débilmente a la estrategia $t_i$ si tenemos, $u_i(s_i, s_{-i}) \ge u_i(t_i,s_{-i}) \space \forall s_{-i} \in S_{-i}$ y para al menos un $s_{-i}$ la desigualdad es estricta.
(Def 1c): Una estrategia $s_i \in S_i$ domina muy débilmente a la estrategia $t_i$ si tenemos, $u_i(s_i, s_{-i}) \ge u_i(t_i,s_{-i}) \space \forall s_{-i} \in S_{-i}$
Ahora, para formar una definición matemática (que involucre números de utilidad) de una estrategia débilmente dominante procedo de la siguiente manera:
(Def propia del OP): Una estrategia $s_i \in S_i$ es una estrategia débilmente dominante si
(a) $u_i(s_i, s_{-i}) \ge u_i(t_i,s_{-i}) \space \forall s_{-i} \in S_{-i}$
(b) $\forall t_i \in S_i \setminus \{s_i\} \space \exists \space t_{-i} \in S_{-i} : u_i (s_i, t_{-i})>u_i(t_i, t_{-i}) $
Podemos denotar $t_{-i}= t_{-i}(t_{i}) para recordarnos que necesitamos encontrar un perfil de estrategia del oponente (no necesariamente único) para cada estrategia no honesta.
El marco es el de valores privados IID y en caso de empate, cada ganador de la subasta recibe el objeto con una probabilidad positiva e igualmente probable y paga su propio valor de oferta. (que también es el segundo valor de oferta más alto)
¿Mi pregunta es cómo hacer esto? No necesito ayuda para probar que la estrategia honesta es una estrategia muy débilmente dominante. Pero estoy atascado en probar una estrategia débilmente dominante.
Por mucho tiempo estuve tratando de encontrar el perfil de oferta rival donde esto se cumple para todas las estrategias no honestas (¡todas a la vez!) pero no tuve éxito. Y luego me di cuenta de que necesito un enfoque para encontrar un perfil de oferta rival para cada estrategia no honesta.
Estimados expertos,
A) ¿Podrías decir exactamente cuál es el vector de oferta rival (N-1 dimensional) (si existe uno único?) para que la desigualdad estricta se cumpla para todas las estrategias de oferta del jugador i que no sean iguales a su valor?
B) ¿Podrías revisar y completar los espacios en blanco de mi prueba de existencia?
Estoy esbozando la prueba de existencia de un perfil de oferta rival único donde la desigualdad es estricta para todas las estrategias no honestas:
(Prueba por contradicción) Supongamos que no existe un vector de estrategia (función) rival $s_{-i}\in S_{-i}$ tal que $u_i (v_i,s_{-i})>u_i(s^{'}_{i},s_{-i}) \space \forall s^{'}_{i}\in S_i$
es decir, para todas las ofertas no honestas del jugador i, $b_i \ne v_i$, siempre es el caso que $u_i (v_i,s_{-i})\le u_i(b_{i},s_{-i})$ independientemente de cuál sea el vector de oferta del oponente.
Caso A): $u_i(b_{i},s_{-i})=0$
Luego, el jugador i pierde: $ \space b_i < max_{j \ne i} b_j $
Si por alguna razón insensata, todos los ofertantes rivales ofertan, $b_j =0$, entonces es de interés del jugador i ofertar $v_i$. Es decir, $u_i(v_{i},s_{-i}) >0$
Caso B): $0< u_i(b_{i},s_{-i}) < v_i -max_{j \ne i}b_j$
No puedo encontrar un perfil de estrategia rival aquí.
Caso C) $ u_i = v_i -max_{j \ne i}b_j$
Tampoco puedo encontrar un perfil de estrategia rival aquí.
