Suma sobre Dado Mínimo

Question

Se te ha encargado encontrar el valor esperado de un juego de dados en el que tiras 2 dados a la vez. La suma de tus dados en tu primera tirada será tu puntuación inicial. En tu siguiente y última tirada de los 2 dados, elegirás el dado óptimo para dividir tu total, que será tu puntuación final. Calcula el valor esperado de jugar este juego de manera óptima

Mi enfoque - Primero obtuve la suma esperada en la primera tirada, que es 7.
Luego calculé el valor esperado de min(d1,d2) en la segunda tirada y al evaluarlo obtuve el valor 91/36.....(Lo he verificado)

Ahora, para obtener el máximo retorno esperado hice -
Máximo retorno = Puntuación inicial esperada / Valor esperado que elijas en la segunda tirada
Máximo retorno = 7/(91/36) = 36/13 pero está mal ??
¿Alguien puede corregirme dónde me equivoqué y sugerir el enfoque correcto?

Answer 1

Esta es una aplicación de la distribución de ratio $f(Z)$, $Z=X/Y$.

Estás buscando $\mathrm{E}\left(X/Y\right)$. Aquí, $X$ y $Y$ son independientes, por lo tanto:

$$\mathrm{E}(X/Y)=\mathrm{E}(X)\mathrm{E}(1/Y)$$

¡Ten en cuenta que $\mathrm{E}(1/Y)\neq 1/E(Y)$!

$E(X)=7$ como ya has mostrado. Como $Y$ es el mínimo de los puntos de la tirada de dos dados justos, su función de masa de probabilidad es

$$f(Y= k)=\frac{13-2k}{36}$$

La expectativa $\mathrm{E}(1/Y)=\sum_i \frac{1}{i}f(Y=i)$ es

$$\mathrm{E}(1/Y)=\frac{1}{1}f(1)+\frac{1}{2}f(2)+\cdots+1/6f(6)=\frac{397}{720}$$

Por lo tanto, $E(Z)=7\times \frac{397}{720}$