P&L al coberturar con volatilidad realizada

Question

Citando "The Volatility Smile" de EMANUEL DERMAN MICHAEL B. MILLER, pag.95-96:

La cartera cubierta en cualquier momento $t$ está dada por $\Pi(I,R)=V_{I}-\Delta_{R}X$, donde $\sigma_{R}$ es la volatilidad realizada calculada, $V_{I}$ es el valor de la opción calculado con la volatilidad implícita $\sigma_{I}$, y $\Delta_{R}$ es la proporción de cobertura valorada con $\sigma_{R}$. El incremento de la cartera cubierta con la volatilidad realizada es $dP\&L(I,R)=dV_{I}-\Delta_{R}dX-\Delta_{R}XDdt-(V_{I}-\Delta_{R}X)rdt$, que puede reescribirse como $dP\&L(I,R)=dV_{I}-rV_{I}dt-\Delta_{R}[dX-(r-D)Xdt]$, donde $D$ es el rendimiento por dividendo. Si hubiéramos valorado en $\sigma_R$ y cubierto en $\sigma_R$, la estrategia de cobertura habría sido la libre de riesgo que lleva a la ecuación BSM. Por lo tanto, $dP\&L(R,R)=0=dV_{R}-V_{R}rdt-\Delta_{R}[dX-(r-D)Xdt] \to \Delta_{R}[dX-(r-D)Xdt] = dV_{R}-V_{R}rdt \to dP\&L(I,R)=dV_{I}-dV_{R}-(V_{I}-V_{R})rdt$.

Ahora el autor hace algo que no entiendo:

Usando la regla del producto para derivar $e^{-rt}(V_{I}-V_{R})$ con respecto a $t$, obtenemos $dP\&L(I,R)=e^{rt}d[e^{-rt}(V_{I}-V_{R})]$, expresando el P&L incremental en términos de una diferencial completa, lo que hará más fácil calcular el P&L total a lo largo de la vida de la opción.

¿Qué está haciendo exactamente el autor en el último paso y cuáles son los pasos matemáticos para ir de $e^{rt}\partial/\partial t(V_{I}-V_{R})+(V_{I}-V_{R})\partial/\partial t (e^{rt})$ a $e^{rt}d[e^{-rt}(V_{I}-V_{R})]$? ¡Muchas gracias!

Answer 1

Sin adentrarse demasiado en el papel, las derivaciones pueden verificarse de la siguiente manera.

Derivación:

Comencemos desde el resultado final: Utilizando la regla del producto con respecto a $t$ en $e^{-rt} \left(V_I(t) - V_R(t)\right)$:

$$\begin{align*} \frac{d}{dt}\left[e^{-rt} \left(V_I(t) - V_R(t)\right)\right] &= -re^{-rt} \left(V_I(t) - V_R(t)\right) + e^{-rt} \left[\frac{d}{dt}\left(V_I(t) - V_R(t)\right)\right]\\ \end{align*}$$ Ahora multipliquemos ambos lados por $e^{rt}$: $$\begin{align*} e^{rt}\frac{d}{dt}\left[e^{-rt} \left(V_I(t) - V_R(t)\right)\right] &= -r \left(V_I(t) - V_R(t)\right) + \frac{d}{dt}\left(V_I(t) - V_R(t)\right)\\ \end{align*}$$ y por último, multipliquemos ambos lados por $dt$ (he eliminado el subíndice $t$ para seguir la notación de los autores): $$\begin{align*} e^{rt}d\left[e^{-rt} \left(V_I - V_R\right)\right] &= -r \left(V_I - V_R\right)dt + d\left(V_I - V_R\right)\\ &= -r \left(V_I - V_R\right)dt + dV_I - dV_R\\ &= dP\&L(I,R) \end{align*}$$

Por lo tanto, podemos reescribir la ecuación de P&L como la diferencial completa proporcionada por los autores.

Derivación alternativa:

Se puede proporcionar una derivación alternativa utilizando la regla del producto para procesos de Itô.

Sea $f = X \cdot Y$, donde $X = e^{-rt}$ y $Y=(V_I - V_R)$, entonces siguiendo la regla del producto para procesos de Itô:

$$\begin{align} df &= d(X\cdot Y)\\ &= Y dX + X dY + d[X,Y]\\ &= (V_I - V_R)d\left(e^{-rt}\right) + e^{-rt} d\left(V_I - V_R\right) + 0\\ &= (V_I - V_R) \left(-re^{-rt} dt\right) + e^{-rt} d\left(V_I - V_R\right), \end{align}$$ donde hemos utilizado el lema de Itô en $d(e^{-rt}) = -re^{-rt} dt$ y el hecho de que la variación cuadrática de un proceso de variación finita es cero (es decir, $d[X,Y] = 0$, ya que $e^{-rt}$ es una función diferenciable continua).

Ahora, multiplicando por $e^{rt}$ en ambos lados nos da el resultado deseado: $$\begin{align} e^{rt} df&= e^{rt} d(X\cdot Y)\\ &= e^{rt}d\left(e^{-rt} \left(V_I - V_R\right)\right)\\ &= -r (V_I - V_R) dt + dV_I - dV_R\\ &= dP\&L(I,R). \end{align}$$