Prueba de pesos que maximizan el índice de Sharpe de una cartera

Question

Dado un portafolio de $n$ activos con vector medio $\mu$ y matriz de correlación $\Sigma$, los pesos óptimos $w$ en los $n$ activos para maximizar el sharpe general se encuentran por $$\max_{w:||w||=1}{\dfrac{\mu^Tw}{\sqrt{w^T\Sigma w}}}$$ y las entradas de $w$ son no negativas. He visto en este post (y varios otros lugares) que los pesos que resuelven este problema de optimización se dan como

$$w=\Sigma^{-1}\mu$$

Sin embargo, no he podido encontrar una referencia que explique por qué esto es cierto.

Pregunta: ¿Cuál es la prueba de que estos son los pesos óptimos? Bono: ¿qué pasa si $\Sigma$ no es invertible (estrictamente semidefinida positiva)?

Answer 1

Si el problema de optimización es:

$\max_{w} \frac{w'\boldsymbol{\mu}}{(w'\boldsymbol{\Sigma}w)^{\frac{1}{2}}}$

restringido a $w\textbf{1}=1$, entonces simplemente utilizamos multiplicadores de Lagrange:

$$L = \frac{w'\boldsymbol{\mu}}{(w'\boldsymbol{\Sigma}w)^{\frac{1}{2}}} + \lambda(w\textbf{1} - 1)$$

Luego, tomando las derivadas parciales con respecto a $w$ y $\lambda$, tenemos:

$$\frac{\partial L}{\partial w} = \boldsymbol{\mu} (w'\boldsymbol{\Sigma}w)^{-\frac{1}{2}} - (w'\boldsymbol{\mu}(w'\boldsymbol{\Sigma}w)^{-\frac{3}{2}}\boldsymbol{\Sigma}w + \lambda\textbf{1}=0$$

$$ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = w'\textbf{1} - 1 = 0$$

Luego se obtiene el resultado.

Para tu segunda pregunta, una matriz es invertible si y solo si tiene un determinante distinto de cero. Pero a partir de la definición de una matriz de correlación, la única forma en que una matriz de correlación tenga un determinante distinto de cero es que todas las correlaciones sean iguales a $1$ o $-1$. En estos casos, la cartera óptima es trivialmente obvia. Si hay menos puntos de datos que dimensiones, puedes realizar un análisis de PCA, o puedes utilizar descomposición de valores singulares para calcular la pseudoinversa de una matriz.