Optimizar el ratio de Sharpe de una cartera de activos no correlacionados

Question

Dada una cartera de $n$ activos, vector de rendimientos medios $\mu$ , matriz de covarianza $K$ se pueden calcular las ponderaciones de la cartera $w^*$ que maximizan el ratio de Sharpe de la cartera, resolviendo:

$$w^*=\text{argmax} \left[\frac {w^T \mu} {\sqrt {w^T K w}} \right]$$

Informática $w^*$ requiere la construcción de la $K$ y la resolución de un sistema de ecuaciones cuadráticas, por lo que se vuelve computacionalmente caro cuando $n$ se hace grande.

Sin embargo, si por alguna razón, sabemos que los rendimientos de los activos no están correlacionados, el problema se simplifica como: $$ K=\begin{bmatrix} \sigma_1^2 & .. & 0 \\ .. & .. & .. \\ 0 & .. & \sigma_n^2 \\ \end{bmatrix} $$

En este caso, sospecho que no necesitamos molestarnos con las ecuaciones cuadráticas, debería haber una fórmula directa para calcular $w^*$ simplemente introduciendo el individuo $\mu_i$ y $\sigma_i$ de cada activo:

$$w_i^* = f(\mu_1,\sigma_1,\dots,\mu_n,\sigma_n)$$

No puedo derivar la fórmula analíticamente. AYUDA

Answer 1

Formalmente (y lo digo en serio - ver más abajo), los pesos óptimos son $w=K^{-1}\mu$ . La cartera pnl tiene entonces la media $Q=\sum_iw_i\mu_i$ y la varianza $V=\sum_{ij}w_iw_jK_{ij}$ . El Sharpe es $S=Q/\sqrt{V}$ . En el caso no correlacionado la respuesta viene dada por la fórmula pitagórica $$ S=\sqrt{\sum_i\frac{\mu_i^2}{\sigma_i^2}}. $$

Sin embargo, esta respuesta puede ser muy errónea en cualquier contexto práctico. Esta y otras cuestiones relacionadas se tratan en mi libro reciente . Algunos puntos destacados:

1. Dos activos no correlacionados con ratios de Sharpe $S_1$ y $S_2$ . El libro de dos activos ponderado de forma óptima tiene el Sharpe $\sqrt{S_1^2+S_2^2}$ .
2. Si las afirmaciones son correlativas, existe una fórmula geométrica que implica la circunferencia de un triángulo construido sobre los dos Sharpes. Si la correlación entre los dos activos es suficientemente positiva, el peso óptimo del activo más débil puede ser negativo .
3. El caso de múltiples (digamos, menos de 10000) activos correlacionados no es realmente caro desde el punto de vista computacional. Una inversión matricial LAPACK en C o numpy probablemente tardaría menos de unos segundos o menos.
4. Un problema más grave es la maldición de la dimensionalidad (también conocida como mal muestreo de la covarianza, sobreajuste, etc.) que hace que la combinación óptima de múltiples activos (o estrategias, para el caso) sea complicada y requiera cierta regularización. Esta parte es difícil de formalizar y requiere cierto grado de sesgo inductivo y experiencia previa.