Función de utilidad con dos bienes con una participación decreciente del gasto en uno de los bienes

Question

Mi pregunta está relacionada con las funciones de utilidad de bienes inferiores (algunas respuestas aquí).

Supongamos que hay dos bienes, $a, b$. Estoy buscando una función de utilidad que satisfaga la condición usual de utilidades marginales positivas pero decrecientes. Sin embargo, quisiera que la proporción del ingreso gastado en el bien $a$ disminuya con el ingreso. Por ejemplo, la proporción gastada en alimentos puede disminuir con el ingreso aunque no sea un bien inferior.

Claramente, si el bien $a$ es un bien inferior, se cumple el requisito anterior (ver demostración abajo). Pero como mencionan las respuestas vinculadas, dichas funciones de utilidad se vuelven rápidamente intratables. Espero que dado que mi requisito es menos estricto, sea posible encontrar funciones de utilidad más fáciles de manejar.

Básicamente, sean $a^*(p_a,p_b,m), b^*(p_a,p_b,m)$ las funciones de demanda derivadas de $U(a,b)$. Lo que quiero es:

$$\begin{align} \frac{\partial}{\partial m}\left(\frac{p_a a^*}{m}\right) &< 0 \\ \implies \frac{p_a}{m}\frac{\partial a^*}{\partial m}-p_a a^*\frac{1}{m^2} &<0 \\ \implies \frac{\partial a^*}{\partial m}&<\frac{m}{a^*} \end{align}$$

Claramente, si el LHS es no positivo (bien con efecto negativo en el ingreso o cero) se satisface la desigualdad. Por lo tanto, mi requisito es menos estricto.

También encontré una función para el efecto de ingreso cero aquí. Esta es hasta ahora mi mejor alternativa, pero no me gusta el hecho de que el segundo bien tenga una utilidad marginal constante (preferiría una disminución). Dado que lo que tengo en mente es bastante realista para algunos bienes, seguramente debería haber literatura al respecto.

Por favor, comparta las referencias si su respuesta está motivada por algún artículo/libro.

Answer 1

Para un tratamiento formal (si tu objetivo es estimar algunos datos de demanda), recomiendo el sistema de demanda casi ideal de Deaton y Muellbauer (1980). También consulta la página de Wikipedia. Para que la participación del gasto en algún bien $i$ ($w_i$) disminuya con la riqueza $m$, simplemente elige $\beta_i < 0$.

Sin embargo, según tus referencias, es posible que estés buscando ejemplos simples. He construido un ejemplo sencillo como el siguiente: $$u(x,y) = \sqrt{x} + \sqrt{y+a}, \; a > 0$$ sujeto a $$px + y = m$$ La demanda interior es $$x(p,m) = \frac{m+a}{p+p^2}, y(p,m) = \frac{p^2m - ap}{p+p^2}$$ que existe cuando $mp \geq a$. Aunque ambos bienes son normales, la participación del gasto en $x$ disminuye en $m$, es decir, $$w_x = \frac{px(p,m)}{m} = \frac{p+a\frac{p}{m}}{p+p^2}$$

Por otro lado, si $mp < a$, tenemos una solución de esquina con $$x(p,m) = \frac{m}{p}, y(p,m) = 0$$ En este caso, $w_x \equiv 1$ a medida que aumenta $m$. Fijando $p$, aumentando $m$ de $0$ a $\infty$, observamos una disminución continua de $w_x$.

Finalmente, es fácil verificar que la función de utilidad muestra una utilidad marginal decreciente en ambos bienes.