Mi pregunta se refiere a las funciones de utilidad CES, que tienen la forma $$u(x) = \left(\sum_{j=1}^n a_j x_j^{\rho} \right)^{1/\rho}$$ para los parámetros de utilidad $a_j$, un parámetro de elasticidad $\rho$, y una asignación de bienes dada por $x$.
Cuando $\rho=1$ tenemos una utilidad lineal, o sustitución perfecta, con $$u(x) = a^T x$$ Los conjuntos de nivel de $u$ son líneas rectas, y siempre es posible lograr la misma utilidad intercambiando un bien por otro en una proporción fija. Puedo ver que esto surge en la vida real: Dos bolsas de harina son perfectamente intercambiables, y lo único que le importa al comprador es su tamaño y costo.
Cuando $\rho \to -\infty$ tenemos una utilidad Leontief, o complementariedad perfecta, con $$u(x) = \min_j a_j x_j$$ Los conjuntos de nivel de $u$ son en forma de L, y la utilidad óptima siempre se logra comprando bienes en una proporción objetivo dada por $a$. Esto también tiene sentido: Si estoy haciendo una receta que requiere dos unidades de huevo por cada unidad de azúcar, tener el doble de azúcar no hace ninguna diferencia a menos que también tenga el doble de huevo.
La mayoría de las situaciones son más complicadas que esto, sin embargo, y lo bueno de la forma CES y su parámetro $\rho$ es que nos permite capturar situaciones que no se encuentran en uno de estos extremos. Un panadero puede reemplazar el azúcar con azúcar moreno, pero no arbitrariamente. Establecer $\rho$ en algún valor entre $1$ y $-\infty$ captura esta sustituibilidad imperfecta. Pero el valor preciso de $\rho$ depende de la situación en cuestión: si los ingredientes son buenos substitutos, tal vez $\rho = 0.8$; si son substitutos bastante pobres, tal vez $\rho = -10$.
Si tomamos el límite cuando $\rho \to 0$, obtenemos una función de utilidad que tiene un nombre bonito, la función de utilidad Cobb-Douglas. También tiene una forma bonita:
$$u(x) = \prod_j x_j^{a_j}$$
Pero ¿hay algo verdaderamente especial sobre este caso?
Desde mi punto de vista, parece que la utilidad Cobb-Douglas es solo un punto arbitrario a lo largo del continuo que va desde lineal hasta Leontief. Tal vez reciba un nombre porque fue descubierta antes de la familia CES generalizada, pero no veo por qué hay algo especialmente significativo al respecto más allá de la simplicidad de la forma. ¿Es este argumento válido?
¿Hay alguna razón por la que podríamos asumir que $\rho$ está cerca de cero si hemos descartado los casos lineal y Leontief?
¿La utilidad Cobb-Douglas corresponde a una situación "idealizada" como los ejemplos de harina o huevo/azúcar mencionados anteriormente?
