Diferencia entre el portafolio de replicación y el precio de la opción

Question

Hola comunidad de Quant Stack Exchange,

He estado trabajando en un modelo de tiempo discreto para la fijación de precios de opciones, donde calculo la cartera de replicación usando el modelo y la comparo dinámicamente con los precios reales de opciones. La ecuación que estoy utilizando para representar esto es (similar a la ecuación de Bakshi et al. 1997 - Rendimiento Empírico de Modelos Alternativos de Fijación de Precios de Opciones):

$$H_{t+1} = a_tS_{t+1} + C_t \cdot e^{(R \cdot \Delta t)} - P_{t+1} $$

Aquí, $H_{t+1}$ representa el error entre la cartera de replicación y el valor de la opción. $a_t$ es la proporción de cobertura, $S_{t+1}$ precio subyacente, $C_t$ es efectivo o bono, y $P_{t+1}$ es el precio de la opción de mercado. He observado que $H_{t+1}$ puede tomar valores tanto positivos como negativos.

Me intriga conocer las implicaciones de estos valores positivos y negativos de $H_{t+1}$ dentro del contexto de la fijación de precios de opciones. Específicamente, ¿qué significa cuando $H_{t+1}$ es positivo, y, por el contrario, cuando es negativo (desde el punto de vista del vendedor de opciones)?

Cualquier conocimiento o referencias a literatura relevante serían muy apreciados.

¡Gracias!

Answer 1

No he leído el documento, pero según tu descripción y mi entendimiento, parece una replicación directa del delta-hedging de la opción.

Por ejemplo, si queremos delta-hedging una posición corta en una llamada, uno compraría delta-veces la cantidad de acciones. En tu caso, el delta sería $a_t$ y la posición larga en acciones se financia con dinero $C_t$. Sin embargo, a medida que el precio de la acción evoluciona al siguiente período $S_{t+1}$ y el precio de la opción de compra también cambia a $P_{t+1}$ (sí, notación confusa pero aguanta), nos encontramos con una discrepancia en el precio $H_{t+1}$:

\begin{equation} H_{t+1} = a_t S_{t+1} + C_te^{r\Delta t} - P_{t+1} \end{equation}

Por lo tanto, desde la perspectiva de un vendedor de opciones (a través de la posición corta en opción), el error de precio $H_t$ es causado por la gamma de la opción $\Gamma_t$, que es la sensibilidad del delta de la opción $\Delta_t$ o $a_t$ a los cambios en el precio de la acción subyacente. Además, un $H_{t+1}$ negativo (positivo) simplemente significa que la posición de cobertura (compuesta por las acciones y el efectivo/bono) vale más (menos) que la opción de compra $P_{t+1}$.

Comentarios finales: El problema que has encontrado podría estar haciendo referencia a $P_{t+1}$ para una posición larga en una opción de venta, por lo que tu pregunta sobre preguntar desde el punto de vista de un vendedor de opciones podría no ser una buena pregunta.