Cómo calcular los rendimientos simples anualizados y la desviación estándar simple anualizada dados los datos diarios históricos

Question

Tengo retornos diarios de mi activo que se extienden a lo largo de varios años y me gustaría calcular una serie temporal de la Ratio de Sharpe Móvil.

Esta Ratio de Sharpe pide específicamente:

• Retornos simples anualizados;
• Y desviación estándar anualizada de los retornos simples.

Este no es un procedimiento estándar, y estoy confundido. Mis preguntas son acerca de cómo calcular los retornos simples anualizados y la desviación estándar anualizada de los retornos simples.

¿Es correcto calcular los retornos anualizados dado un historial de datos diarios como sigue: Dado $r_{n} = \ln (P_{n} / P_{n-1})$ para que mis retornos diarios sean $ R_{n} = e^{r_{n}} - 1$; ¿serán mis retornos anualizados la media geométrica:

$$ 1 + R_{\text{anualizado}} = \left( \prod_{j = 0}^{252 - 1} ( 1 + R_{n - j} ) \right)^{1/252}?$$

Acerca de la desviación estándar anualizada. ¿Calculo la desviación estándar diaria de los retornos simples $R_{n}$ y multiplico por $\sqrt{252}$? Sé que esto funciona con los retornos logarítmicos porque estos están normalmente distribuidos, ¿pero funcionan los retornos simples de la misma manera?

Pido disculpas si esta pregunta es demasiado básica. Cualquier recomendación de referencia es muy apreciada.

Answer 1

Para responder a la pregunta sobre el retorno anual: Primero su producto solo puede comenzar con $i=1$ porque de lo contrario tendría índices negativos. Si esto se corrige: con sus definiciones y demás, ¿no se reduce simplemente a $\log P_252 - \log P_1$ que es el retorno logarítmico del último año? Lo que podría intentar expresar es el retorno anual promedio, lo cual tiene sentido si tiene más de un año. Por ejemplo, si $R_2$ es el retorno durante dos años entonces el $R^a$ que satisface $$ (1+R^a)^2 = 1 + R_2 $$ es el retorno anual promedio. Con su fórmula esto podría ser un retorno diario promedio.

Para la desviación estándar usualmente se utilizan los retornos logarítmicos (dependiendo si acordaron algo más o si hay un antecedente legal que prescribe usar algo más). La diferencia será insignificante. Más importante: con la raíz cuadrada obtiene una volatilidad anualizada y debería compararla con un retorno anual.

EDICIÓN: para responder al comentario: Por su definición: $$ \prod_{j = 0}^{252 - 1} ( 1 + R_{n - j} ) = \prod_{j = 0}^{252 - 1} e^{r_{n-j}} $$ y $$ e^{r_{n-j}} = \exp \left( \log P_{n-j} - \log P_{n-j-1} \right). $$ Así que el producto anterior de forma telescópica. Para $j=1$ obtiene $$ \exp \left( \log P_{n-1} - \log P_{n-2} \right) = P_{n-1} / P_{n-2} $$ y para $j=2$ es $$ P_{n-2} / P_{n-3} $$ así que $P_{n-2}$ se cancela. Para $j = 252$ obtiene $P_{n-252} / P_{n-253}$. Así que si todos los índices son correctos entonces todos los términos excepto el primero y el último se cancelan.