Cómo mostrar que no hay un equilibrio de Walrasiano?

Question

Hay 3 agentes, un vendedor y dos compradores. Hay dos bienes indivisibles, manzana(a) y plátano(b), y un bien divisible, dinero(m). El endoso del vendedor es $W_s=(1,1,0)$, y el de los compradores es $W_{b1}=W_{b2}=(0,0,10)$. La función de utilidad del vendedor es $U_s(a,b,m)=m$. Para el comprador 1, $u_{b1}(1,1,m)=3+m$, y $u_{b1}(a,b,m)=m$ si $(a,b)\neq(1,1)$. Para el comprador 2, $u_{b2}(a,b,m)=2+m$ si $(a,b)\neq(0,0)$ y $u_{b2}(0,0,m)=m$.

No sé cómo mostrar que esta economía no tiene un WE.

Answer 1

Dada la economía de intercambio,

• Tres bienes: X (Manzana), Y (Plátano), M (Dinero)
• Tres agentes: Vendedor (S), Comprador 1 (A), Comprador 2 (B)
• Dotación del vendedor: $W_S=(1,1,0)$; Dotación de los compradores: $W_A=W_B=(0,0,10)$. El vendedor tiene manzanas y plátanos, los compradores tienen el dinero.
• Funciones de utilidad: Para $i\in\{S,A,B\}$, definir $u_i:\{0,1\}\times\{0,1\}\times\mathbb{R}_+\rightarrow\mathbb{R}$ de la siguiente manera:

$u_S(x_S,y_S, m_S)=m_S$,

$u_A(x_A,y_A, m_A)=3\min(x_A,y_A)+m_A$,

$u_B(x_B,y_B, m_B)=2\max(x_B,y_B)+m_B$

Podemos descartar rápidamente la posibilidad de tener $p_M=0$ porque eso llevaría a una demanda ilimitada de $M$.

Entonces, dejamos que $p_M=1$ sea el numerario. Ahora consideraremos las siguientes posibilidades:

• $p_X=0$ y $p_Y=0$. El vendedor es indiferente entre vender y comprar manzanas y plátanos, pero dado que ambos son gratuitos, A demandará 1 unidad de manzana y 1 unidad de plátano, y B también demandará 1 unidad ya sea de manzana o de plátano. Por lo tanto, al menos uno de los dos estará en demanda excesiva.

• $p_X=0$ y $p_Y>0$. B demandará 1 unidad de X. A definitivamente demandará X e Y de tal manera que la cantidad demandada de X sea al menos igual que la cantidad demandada de Y. Por lo tanto, la demanda agregada de X será al menos una unidad más la demanda agregada de Y. Sin embargo, a estos precios, la oferta de X será como máximo la de Y. Por lo tanto, los mercados no se equilibrarán.

• $p_X>0$ y $p_Y=0$. Esto también se descarta por argumento simétrico al caso anterior.

• $p_X>0$ y $p_Y>0$. Dado que $p_X>0$ y $p_Y>0$, observando la función de utilidad del vendedor sabemos que el vendedor querrá vender ambos bienes, independientemente de los precios. Por lo tanto, la oferta de X es 1 y la oferta de Y es 1.

Caso 1: $p_X+p_Y>3$, En este caso, la demanda de A es $x^d_A=y^d_A=0$ y B demandará ya sea solo $1$ unidad de X, o solo $1$ unidad de Y, o $0$ unidad de ambos X e Y dependiendo de los precios. Sin importar lo que suceda, ambos mercados nunca se equilibrarán al mismo tiempo.

Caso 2: $p_X+p_Y<3$, En este caso, la demanda de A es $x^d_A=y^d_A=1$ y B demandará ya sea solo $1$ unidad de X, o solo $1$ unidad de Y dependiendo de cuál sea más barato. Esto se debe a que $p_X+p_Y\leq 3$ implica que $\min(p_X,p_Y)<2$. Nuevamente, pase lo que pase, habrá demanda excesiva del bien más barato, o de uno de ellos si tienen el mismo precio.

Caso 3: $p_X+p_Y=3$, En este caso A puede demandar 0 unidad de ambos, o 1 unidad de ambos. Si A demanda 0 unidades de ambos entonces se aplica el razonamiento del Caso 1. Si A demanda 1 unidad de ambos bienes entonces se aplica el razonamiento del Caso 2. De cualquier manera, el equilibrio competitivo no existe.