Black and Scholes (1973) argumentan que su fórmula de precios de opciones puede derivarse directamente del CAPM. Aparentemente, este fue el enfoque original a través del cual Fischer Black derivó la EDP, aunque Black y Scholes presentan este enfoque como una "derivación alternativa" en su artículo. Hasta la fecha, la derivación del CAPM ya no se utiliza, aunque no se ha olvidado por completo (por ejemplo, se discute aquí en MSE).
Al observar la derivación del CAPM en el artículo de Black y Scholes, surge la pregunta de si esta derivación es realmente correcta. Los autores utilizan una notación abreviada para describir integrales estocásticas, y parece que cometen dos errores matemáticos como resultado. Para mostrar esto, sigamos la derivación del CAPM de Black y Scholes, quienes consideran una opción con valor $w_{t}$ sobre una acción con valor $x_{t}$ (la acción sigue un movimiento Browniano geométrico con derivada $\mu$ y desviación estándar $\sigma$), y aplican la Lema de Itô a $w=f\left(x,t\right)$ para obtener: \begin{equation}\label{dw} \int_{0}^{t}dw_{s}=\int_{0}^{t}w_{1,s}dx_{s}+\int_{0}^{t}w_{2,s}ds+\frac{1}{2}\int_{0}^{t}w_{11,s}dx_{s}^{2},\tag{1} \end{equation} donde Black y Scholes omiten los signos de integral en su artículo. Concluyen a partir de esta ecuación que la covarianza del rendimiento de la opción con el rendimiento del mercado es igual a $w_{1,t}$ veces la covarianza del rendimiento de la acción con el rendimiento del mercado. Argumentan que el beta del CAPM de la opción, por lo tanto, es igual a: \begin{equation}\label{betaw} \beta_{w,t}=\frac{x_{t}w_{1,t}}{w_{t}}\beta_{x},\tag{2} \end{equation} donde $\beta_{x}$ es el beta de la acción. Sin embargo, la ecuación (\ref{betaw}) es solamente correcta si la covarianza de $\int_{0}^{t}w_{2,s}ds+\frac{1}{2}\int_{0}^{t}w_{11,s}dx_{s}^{2}$ en la ecuación (\ref{dw}) con el rendimiento del mercado es igual a cero, lo cual no puede concluirse ya que ambas integrales son estocásticas. Por lo tanto, la ecuación (\ref{betaw}) no se puede derivar directamente del CAPM, que es el primer error (Black y Scholes cometen un error similar en otro lugar en su artículo, como se discute aquí en MSE).
Si uno evita este primer error y continúa siguiendo la derivación del CAPM de Black y Scholes, su próximo paso es usar su definición de $\beta_{w,t}$ para escribir los rendimientos esperados de la acción y de la opción como: \begin{align} E_{0}\int_{0}^{t}dx_{s}&=E_{0}\int_{0}^{t}x_{s}rds+E_{0}\int_{0}^{t}x_{s}a\beta_{x}ds, \label{Edx}\tag{3}\\ E_{0}\int_{0}^{t}dw_{s}&=E_{0}\int_{0}^{t}w_{s}rds+E_{0}\int_{0}^{t}x_{s}w_{1,s}a\beta_{x}ds,\label{Edw}\tag{4} \end{align} donde $r$ es la tasa libre de riesgo y $a$ es la prima de riesgo del mercado (Black y Scholes omiten los signos de integral). Luego toman esperanzas de la ecuación (\ref{dw}) para obtener: \begin{equation}\label{Edw2} E_{0}\int_{0}^{t}dw_{s}=E_{0}\int_{0}^{t}w_{1,s}dx_{s}+E_{0}\int_{0}^{t}w_{2,s}ds+\frac{1}{2}E_{0}\int_{0}^{t}w_{11,s}dx_{s}^{2},\tag{5}
, aunque omiten los operadores de esperanza $E_{0}$ del lado derecho de la ecuación. Combinando las ecuaciones (\ref{Edw}) y (\ref{Edw2}), y utilizando $E_{0}\int_{0}^{t}w_{1,s}dx_{s}=E_{0}\int_{0}^{t}w_{1,s}x_{s}\mu ds$ y la implicación de la ecuación (\ref{Edx}) que $\mu=r+a\beta_{x}$, se obtiene después de algunas manipulaciones: \begin{equation}\label{EPDE} E_{0}\int_{0}^{t}w_{2,s}ds=E_{0}\int_{0}^{t}w_{s}rds-E_{0}\int_{0}^{t}w_{1,s}x_{s}rds-\frac{1}{2}E_{0}\int_{0}^{t}w_{11,s}dx_{s}^{2}.\tag{6}
, Black and Scholes argumentan que esta ecuación implica su ecuación diferencial parcial: \begin{equation}\label{PDE} w_{2,t}=w_{t}r-w_{1,t}x_{t}r-\frac{1}{2}w_{11,t}x_{t}^{2}\sigma^{2},\tag{7}
, que puede haberles parecido clara porque su notación abreviada omite los signos de integral y los operadores de esperanza en la ecuación (\ref{EPDE}) y también escriben $dx_{t}^{2}= x_{t}^{2}\sigma^{2}dt$ (lo cual es incorrecto, aunque $E_{0}\int dx_{t}^{2}=E_{0} \int x_{t}^{2}\sigma^{2}dt$). Sin embargo, la notación más formal deja en claro que la ecuación (\ref{PDE}) no se puede derivar directamente de la ecuación (\ref{EPDE}), que es el segundo error matemático.
¿Existe una derivación alternativa de la EDP que utilice solo el CAPM, o los dos errores anteriores implican que la EDP de Black y Scholes no se puede derivar directamente del CAPM?
