Archimedean pero no continua de mezcla

Question

En el contexto de las preferencias en un conjunto de loterías en un conjunto finito $X$, ¿cuál es un ejemplo de una preferencia que es independiente, arquimediana pero no continua en mezclas?

Sé que la continuidad en mezclas implica arquimediana pero no puedo pensar en un ejemplo donde la implicación inversa falle.

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Para completitud, proporciono aquí las definiciones de los términos anteriores. Supongamos que $X=\{x_1,\ldots,x_n\}$ es finito. Sea $\Delta X=\{\pi\in\mathbb{R}^n:\sum_{i=1}^n\pi_i=1, \pi_i\geq 0\}$. Una preferencia $\succeq$ en los elementos de $\Delta X$ es:

• Independiente: si para todas las loterías $\pi,\rho,\sigma$ y para todo $\alpha\in(0,1)$: $$ \pi\succ\rho\iff\alpha\pi+(1-\alpha)\sigma\succ \alpha\rho+(1-\alpha)\sigma,\\ \pi\sim\rho\iff\alpha\pi+(1-\alpha)\sigma\sim \alpha\rho+(1-\alpha)\sigma; $$
• Arquimediana: si para todas las loterías $\pi,\rho,\sigma$, $$ \pi\succ\rho\succ\sigma\implies\exists\alpha,\beta\in(0,1): \alpha \pi+(1-\alpha)\sigma\succ\rho, \beta \pi+(1-\beta)\sigma\prec\rho $$
• Continua en mezclas: si para todas las $\pi,\rho,\sigma$, los conjuntos $$ \{\alpha\in[0,1]:\alpha\pi+(1-\alpha)\rho\succeq\sigma\}\quad\text{y}\quad \{\alpha\in[0,1]:\alpha\pi+(1-\alpha)\rho\preceq\sigma\} $$ son cerrados en $[0,1]$

Answer 1

Sea $\succeq$ una relación binaria completa y transitiva en el conjunto de todas las loterías en conjuntos finitos de premios. Entonces $\succeq$ es continuamente mixta si y solo si satisface el axioma de Arquímedes y una condición llamada dominancia local de mezcla.

También tienen dos ejemplos allí.

http://www.econ2.jhu.edu/people/karni/archimedean.pdf