He estado tratando de encontrar literatura para la derivación de la matriz de covarianza, siguiendo un modelo multifactorial. No he tenido suerte en absoluto, cada artículo que he encontrado en la web ya da la fórmula $$\Sigma_z=B\Sigma_fB'+\Sigma_{ee}$$ Pero no una derivación de la misma, ¿podría alguien por favor indicarme la literatura correcta?
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Foxy
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Que haya $n$ activos y $k$ factores en el mercado. Suponemos retornos de factores distribuidos multivariadamente normales
$$ r_f\sim \mathrm{N}\left(\mu_f,\Sigma_f\right) $$
con matriz de covarianza de factores $k\times k$ $\Sigma_f$. Condicional en el retorno del factor, $r_f$, el retorno de un activo $i$, $r_i$, es normalmente distribuido con nivel medio $\mu_i|r_f=\beta_i^Tr_f=\beta_{i,1}r_1+\ldots+\beta_{i,k}r_k$ y varianza residual de retorno $\sigma_{i,\epsilon}^2$. Los retornos residuales entre cualquier $i\neq j$ son independientes.
Por lo tanto, la covarianza incondicional entre algunos activos $i$ y $j$ son:
$$ \begin{align} Cov(r_i,r_j)&=\mathrm{E}\left((\beta_{i,1}(r_1-\mu_1)+\ldots\beta_{i,k}(r_k-\mu_k)+\epsilon_i)(\beta_{j,1}(r_1-\mu_1)+\ldots\beta_{j,k}(r_k-\mu_k)+\epsilon_j)\right)\\ &=\mathrm{E}\left((\beta_i^T(r_f-\mu_f)+\epsilon_i)(\beta_j^T(r_f-\mu_f)+\epsilon_j)\right)\\ &=\mathrm{E}\left(\beta_i^T(r_f-\mu_f)(r_f-\mu_f)^T\beta_j+\beta_i^T(r_f-\mu_f)\epsilon_j+\beta_j^T(r_f-\mu_f)\epsilon_i+\epsilon_i\epsilon_j\right)\\ &=\beta_i^T\Sigma_f\beta_j+E(\epsilon_i\epsilon_j) \end{align} $$
Si $i=j$, entonces $E(\epsilon_i\epsilon_j)=\sigma_{i,\epsilon}^2$, de lo contrario es cero.
Ahora recopilemos los vectores de coeficientes beta para cada activo en una matriz, es decir, apilamos las filas de $\beta_i^T$ en una matriz:
$$ B=\begin{pmatrix} \beta_1^T\\ \beta_2^T\\ \ldots\\ \beta_n^T\\ \end{pmatrix} $$
Ahora podemos trazar todas las combinaciones de $i,j$:
$$ \begin{align} Cov(r)&=\begin{pmatrix} Cov(r_1,r_1)&Cov(r_1,r_2)&\ldots&Cov(r_1,r_n)\\ Cov(r_1,r_2)&Cov(r_2,r_2)&\ldots&Cov(r_2,r_n)\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ Cov(r_1,r_n)&Cov(r_2,r_n)&\ldots&Cov(r_n,r_n) \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \beta_1^T\Sigma_f\beta_1+\sigma_{1,\epsilon}^2 &\beta_1^T\Sigma_f\beta_2&\ldots&\beta_1^T\Sigma_f\beta_n\\ \beta_1^T\Sigma_f\beta_2 &\beta_2^T\Sigma_f\beta_2+\sigma_{2,\epsilon}^2&\ldots&\beta_2^T\Sigma_f\beta_n\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ \beta_1^T\Sigma_f\beta_n&\beta_2^T\Sigma_f\beta_n&\ldots&\beta_n^T\Sigma_f\beta_n+\sigma_{n,\epsilon}^2 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \beta_1^T\Sigma_f\beta_1 &\beta_1^T\Sigma_f\beta_2&\ldots&\beta_1^T\Sigma_f\beta_n\\ \beta_1^T\Sigma_f\beta_2 &\beta_2^T\Sigma_f\beta_2&\ldots&\beta_2^T\Sigma_f\beta_n\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ \beta_1^T\Sigma_f\beta_n&\beta_2^T\Sigma_f\beta_n&\ldots&\beta_n^T\Sigma_f\beta_n \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \sigma_{1,\epsilon}^2&0&\ldots&0\\ 0&\sigma_{2,\epsilon}^2&\ldots&0\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ 0&0&\ldots&\sigma_{n,\epsilon}^2 \end{pmatrix}\\ &=B\Sigma_fB^T+\Sigma_{\epsilon} \end{align} $$
