En el documento Equivalent Black Volatilities, se deriva una solución perturbativa para la volatilidad Black equivalente de una opción de compra vainilla bajo la dinámica $dF_t = a(t) A(F_t) dW_t$ mediante la expansión de Taylor de $A$ alrededor de $K$. Obtenemos que la volatilidad integrada apropiada es $$\sqrt{\tau^*} = A(K) \sqrt{\tau} [1 + \frac{\nu_1}{2}\cdot (f-K) + \frac{2\nu_2 -\nu_1^2}{12}(f-K)^2+\frac{2\nu_2-\nu_1^2}{24}A^2(K)\tau+\cdots]$$ para $f$ el valor actual del forward, $\tau=\int_t^T a^2(s) ds$, y $\nu_i$ la razón de la $i$-ésima derivada de $A$ a $A$ mismo: $A^{(i)}(K)/A(K)$.
Los autores luego señalan que los dos primeros términos de esta expansión son $\tau[A(K) + A'(K) (f-K)]$ y afirman que esto sugiere expandir $A$ en lugar de eso sobre el punto $f_{av}:=(f+K)/2$. Luego presentan otra ecuación para $\tau^*$ como
$$A(f_{av}) \sqrt{\tau}[1+\frac{\gamma_2-2\gamma_1^2}{24}(f-K)^2 + \frac{2\gamma_2-\gamma_1^2}{24}A^2(f_{av})\tau+\cdots]$$ donde $\gamma_i = A^{(i)}(f_{av})/A(f_{av})$
Me cuesta entender por qué esos primeros términos deberían sugerir esta nueva expansión (aunque imagino que de alguna manera se puede ver de antemano que eliminará el término lineal en $f-K$) o cómo se realiza el cálculo de la nueva expresión. ¿Hay una forma sencilla de llegar a la segunda fórmula a partir de la primera, o es necesario repetir el análisis completo de perturbación?
