Cambio del punto de expansión para la solución de perturbación singular en volatilidades negras equivalentes

Question

En el documento Equivalent Black Volatilities, se deriva una solución perturbativa para la volatilidad Black equivalente de una opción de compra vainilla bajo la dinámica $dF_t = a(t) A(F_t) dW_t$ mediante la expansión de Taylor de $A$ alrededor de $K$. Obtenemos que la volatilidad integrada apropiada es $$\sqrt{\tau^*} = A(K) \sqrt{\tau} [1 + \frac{\nu_1}{2}\cdot (f-K) + \frac{2\nu_2 -\nu_1^2}{12}(f-K)^2+\frac{2\nu_2-\nu_1^2}{24}A^2(K)\tau+\cdots]$$ para $f$ el valor actual del forward, $\tau=\int_t^T a^2(s) ds$, y $\nu_i$ la razón de la $i$-ésima derivada de $A$ a $A$ mismo: $A^{(i)}(K)/A(K)$.

Los autores luego señalan que los dos primeros términos de esta expansión son $\tau[A(K) + A'(K) (f-K)]$ y afirman que esto sugiere expandir $A$ en lugar de eso sobre el punto $f_{av}:=(f+K)/2$. Luego presentan otra ecuación para $\tau^*$ como

$$A(f_{av}) \sqrt{\tau}[1+\frac{\gamma_2-2\gamma_1^2}{24}(f-K)^2 + \frac{2\gamma_2-\gamma_1^2}{24}A^2(f_{av})\tau+\cdots]$$ donde $\gamma_i = A^{(i)}(f_{av})/A(f_{av})$

Me cuesta entender por qué esos primeros términos deberían sugerir esta nueva expansión (aunque imagino que de alguna manera se puede ver de antemano que eliminará el término lineal en $f-K$) o cómo se realiza el cálculo de la nueva expresión. ¿Hay una forma sencilla de llegar a la segunda fórmula a partir de la primera, o es necesario repetir el análisis completo de perturbación?

Answer 1

No había luchado lo suficiente: todo lo que está sucediendo es que escribimos $K = f_{av} + \frac{K-f}{2}$ y reemplazamos $A(K)$ y sus derivadas por la expansión de Taylor $A(f_{av}) + \frac{K-f}{2}A'(f_{av})+\cdots$ en todas partes en la primera expresión para el vol. Esto tiene el efecto agradable de eliminar el término lineal $\frac{f-K}{2}A'(K)$. $f_{av}$ se elige como punto de expansión específicamente porque $K - f_{av} = -\frac{f-K}{2}$. La expresión completa simplemente es cuestión de álgebra en la expansión de Taylor.