¿Cuál es la tasa de rendimiento de una hipoteca?

Question

Estoy tratando de entender las hipotecas desde los principios básicos, desde la perspectiva de un prestatario.

Sea $S_t$ el precio del activo comprado con el préstamo en el tiempo $t$ (es decir, la casa). Sea $\alpha$ la proporción del pago inicial, $r$ la tasa de interés, $T$ el vencimiento de la hipoteca y $c$ la tasa de cupón pagada continuamente (para simplificar).

El valor del prestatario en el tiempo $0 \le t \le T$ está dado por \begin{align} V_t &= S_t - S_0 c \int_t^T e^{-r(u-t)} \mathrm{d} u \\ &= S_t - S_0 \frac{c}{r} \left[ 1 - e^{-r(T-t)} \right] \end{align}

El cupón par con pago inicial $\alpha S_0$ está dado por $$ c = r \frac{ 1 - \alpha}{1 - e^{-rT}} $$ por lo que $V_0 = \alpha S_0$.

No puedo responder preguntas simples como

• De los 3 parámetros $\alpha$, $r$, $T$ ¿se puede eliminar alguno sin pérdida de generalidad?
• ¿Existe una forma cerrada o aproximada de obtener el apalancamiento $\frac{\mathrm{d}V_t/V_t}{\mathrm{d}S_t/S_t}$, incluso para un modelo simple como $\mathrm{d}S_t/S_t = \text{const}$?

Me gustaría eventualmente entender el punto de equilibrio entre las tasas de interés de la hipoteca y los rendimientos de bienes raíces.

¡Agradecería cualquier ayuda!

Answer 1

Si $T = \infty$, $V_t$ se simplifica a $$V_t = S_t - S_0 (1 - \alpha) $$ y tenemos $$ \frac{\mathrm{d} V_t}{V_t} = \frac{\mathrm{d} S_t}{S_t} \frac{1}{1 - \frac{S_0}{S_t}(1-\alpha)}.$$ Tomando $S_t = S_0 e^{\mu t}$, el apalancamiento es $$ \frac{1}{1 - \frac{S_0}{S_t}(1-\alpha)} = \frac{1}{1 - e^{-\mu t }(1-\alpha)}.$$ que comienza en $1/(1-\alpha)$ y tiende a 1 si $\mu > 0$, se mantiene en su valor inicial si $\mu = 0$, se vuelve extraño si $\mu < 0$.