Derivar la función de utilidad indirecta - Problema con CES

Question

Considere la siguiente función de utilidad CES para el hogar $h$ \begin{equation} U^h(x^h_1,\ldots,x^h_N) = \left[ \sum_{j=1}^{N} (x^h_j - \zeta^h_j)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}} \right]^{\frac{\sigma}{\sigma-1}} \end{equation} donde $\sigma \in (0,\infty)$ denota la elasticidad de sustitución y $\zeta^h_j \in [-\bar{\zeta}, \bar{\zeta}]$ indica si el bien particular es una necesidad o no para el hogar. Por ejemplo, $\zeta^h_j >0$ puede significar que el hogar h necesita consumir al menos una cierta cantidad del bien $j$ para sobrevivir.

Se asume que

\begin{equation} \sum_{j=1}^{N} p_j \bar{\zeta} < w^h \end{equation} donde $w^h$ representa el ingreso del hogar $w^h$.

Ahora, para derivar la función de utilidad indirecta, que según el libro se lee \begin{equation} \nu^h(p,w^h)= \frac{\left[- \sum_{j=1}^{N} p_j \zeta^h_j + w^h \right]}{\left[\sum_{j=1}^{N} p^{1-\sigma}_j \right]^{\frac{1}{1-\sigma}}} \end{equation}

Debería encontrar los conjuntos de consumo óptimos y luego insertarlos en la función de utilidad. Procedí de la siguiente manera

Considerando dos bienes $x^h_j$ y $x^h_{j'}$ con $j \ne j'$: \begin{equation} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_j} \Bigg/ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_j'} =\left( \frac{{x^h_{j'}-\zeta^h_{j'}}}{{x^h_{j}-\zeta^h_{j}}}\right)^{\frac{1}{\sigma}} = \frac{p_j}{p_{j'}} \end{equation} donde $\mathcal{L}$ es el lagrangiano. La restricción que utilicé es: $\sum_{j=1}^{N} p_j x_j = w^h$. Ahora, resolviendo la expresión anterior por $x^h_{j'}$ e insertándola en la restricción \begin{equation> \sum_{j \ne j'} p_j x^h_j + (p_j)^{\sigma} p^{1-\sigma}_{j'} (x^h_j - \zeta^h_j) + p_{j'} \zeta^h_{j'}=w^h No estoy seguro de que lo que estoy haciendo sea correcto. Si es así, ¿cómo debo continuar?

Answer 1

Arreglar un buen $r$. Para mayor comodidad notacional, permita que deje caer el superíndice $h$. De las condiciones de primer orden, obtenemos: $$ x_{j} = \zeta_j + \left(\frac{p_{r}}{p_{j}}\right)^{\sigma}(x_{r} - \zeta_{r}) $$ Sustituir en la restricción presupuestaria $\sum_{j} p_j x_j = w$. $$ \begin{align*} &\sum_j p_j \left(\frac{p_r}{p_j}\right)^\sigma (x_r - \zeta_r) + \sum_j p_j \zeta_j = w,\\ \iff & \sum_j p_j^{1 - \sigma} p_r^\sigma (x_r - \zeta_r) = w - \sum_j p_j \zeta_j,\\ \iff & p_r^\sigma (x_r - \zeta_r) = \frac{w - \sum_j p_j \zeta_j}{\sum_j p_j^{1 - \sigma}},\\ \iff & x_r = \zeta_r + \frac{w- \sum_j p_j \zeta_j}{p_r^\sigma \sum_j p_j^{1 - \sigma}} \end{align*} $$

Ahora sustituir esto en la función de utilidad $$\left(\sum_r (x_r - \zeta_r)^{\frac{\sigma - 1}{\sigma}}\right)^{\frac{\sigma}{\sigma - 1}}. $$

Obtenemos: $$ \begin{align*} &\left(\sum_r \left(\frac{w - \sum_j p_j \zeta_j}{p_r^\sigma \sum_j p_j^{1 - \sigma}}\right)^{\frac{\sigma - 1}{\sigma}}\right)^{\frac{\sigma}{\sigma - 1}},\\ =& \left[w - \sum_j p_j \zeta_j\right] \frac{\left(\sum_r p_r^{1 - \sigma}\right)^{\frac{\sigma}{\sigma - 1}}}{\sum_j p_j^{1 - \sigma}},\\ = & \frac{\left[w - \sum_j p_j \zeta_j\right]}{\left(\sum_r p_r^{1 - \sigma}\right)^{\frac{1}{1-\sigma}}},\\ \end{align*} $$