Notación matemática de la escala vuelve

Question

Tengo problemas con la notación matemática de los rendimientos a escala, que encuentro contraintuitiva a pesar de que entiendo su definición. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Existen tres tipos posibles de rendimientos a escala: rendimientos crecientes a escala, rendimientos constantes a escala y rendimientos decrecientes a escala.

• Si la producción aumenta en el mismo cambio proporcional que cambian todos los insumos, entonces hay rendimientos constantes a escala: $F(aK, aL) = aF(K, L)$.

• Si la producción aumenta en menos que ese cambio proporcional en todos los insumos, hay rendimientos decrecientes a escala: $F(aK, aL) < aF(K, L)$.

• Si la producción aumenta en más que el cambio proporcional en todos los insumos, hay rendimientos crecientes a escala: $F(aK, aL) > aF(K, L)$.

Si definimos (con $a > 0$):

• $F(aK, aL)$: aumento simultáneo y proporcional de los insumos
• $aF(K, L)$: aumento de la producción

Entonces, para mí los rendimientos crecientes a escala deben escribirse de esta manera: $F(aK, aL) < aF(K, L)$ ya que el cambio en la producción es mayor en proporción que el cambio en los insumos. Y de la otra manera para los rendimientos decrecientes a escala. Esto no me queda claro.

Espero que me ayuden a corregir este malentendido.

Saludos, Marc

Answer 1

Citando de la pregunta:

• $F(aK,aL)$ : aumentan simultánea y proporcionalmente las entradas
• $aF(K,L)$ : aumento de la producción

Pero $F(aK,aL)$ es un aumento de la producción, por eso comienza con $F$. Es el aumento de la producción debido al aumento simultáneo y proporcional de las entradas. Al mismo tiempo, $aF(K,L)$ es una producción hipotética, la producción que sería si se aumentara en la misma proporción que las entradas. Por lo tanto \begin{align*} F(aK,aL) & > aF(K,L) \end{align*} muestra que si se aumentan las entradas simultánea y proporcionalmente, el aumento en la producción es mayor que proporcional.

Answer 2

Los rendimientos a escala están directamente relacionados con las funciones homogéneas:

Para una función homogénea $F(x,y)$ dada $\theta>0$, para simplificar,

$$F(\theta x,\theta y) = \theta^r F(x,y)$$

donde nos referiremos a $F$ como una función homogénea de grado $r$. Aquí es mucho más claro ver que si $r>1$, tenemos rendimientos crecientes a escala porque para un aumento dado en ambos insumos de $\theta$, obtenemos un cambio más que proporcional en la producción total. (por ejemplo, si $\theta=2$, los insumos se duplican, entonces obtenemos $2F(x,y)$, el doble de producción si estamos hablando de una función de producción).

La producción clásica de Cobb-Douglas tiene rendimientos constantes a escala y podemos demostrar esto. Toma la forma: $$F(K,L) =K^{1/3}L^{2/3}$$ verificando la homogeneidad tomamos un aumento proporcional de $\theta$:

$$F(\theta K, \theta L) = (\theta K)^{1/3}(\theta L)^{2/3}$$ $$=\theta K^{1/3}L^{2/3}$$ tenemos una función homogénea de grado 1, dada por el exponente de $\theta$, y por lo tanto tenemos rendimientos constantes a escala.

Pensar en ello de esta manera en lugar de memorizarlo basado en una desigualdad es mucho más fácil.