Estoy buscando explicación y demostración sobre el modelo Gopinath:
La función de utilidad por período es separable en consumo y trabajo, y se da por: U(Cj;t;Nj;t)=11−σcC1−σcj;t−κ1+φN1+φj;t donde σc>0 es el coeficiente de aversión al riesgo relativo del hogar, φ>0 es el inverso de la elasticidad de Frisch de la oferta de trabajo y κ escala la desutilidad del trabajo.
El agregador de consumo Cj;t está definido implícitamente por un agregador de demanda homotético de Kimball (1995): ∑i1|Ωi|∫ω∈ΩγijΥ(|Ωi|Cij,t(ω)γijCj,t)dω=1
En la Ecuación (2), Cij;t(ω) representa el consumo de los hogares en el país j de la variedad ω producida por el país i en el tiempo t. γij es un conjunto de pesos de preferencia que captura el sesgo de consumo local en el país j, con ∑iγij=1, mientras que |Ωi| es la medida de variedades producidas en el país i. La función Υ(.) satisface las restricciones Υ(1)=1, Υ′(.)>0 y Υ″. Como es bien sabido, esta estructura de demanda da lugar a complementariedades estratégicas en los precios y en los incrementos variables. Captura el clásico canal de incrementos variables y fijación de precios en el mercado descrito a continuación.
Los hogares en el país j resuelven el siguiente problema de optimización dinámica, \max_{C_{j,t}W_{j,t}B_{\\\$j,t+1}B_{j,t+1}(s')} \mathbb{E}_0\sum_{t = 0}^\infty \beta^{t}U(C_{j,t}N_{j,t})
donde \mathbb{E}_t denota las expectativas condicionales a la información disponible en el tiempo t, sujeto a la restricción presupuestaria por período expresada en moneda local, P_{j,t}C_{j,t}+ \varepsilon_{\\\$j,t}(1+i_{j,t-1}^{\\\$})B_{j,t}^{\\\$}+B_{j,t}= W_{j,t}(h)N_{j,t}(h)+\Pi_{j,t}+\varepsilon_{\\\$j,t}B_{j,t+1}^{\\\$}+\sum_{s^{'}\in S}Q_{j,t}(s^{'})B_{j,t+1}(s^{'})
En esta expresión, P_{j;t} es el índice de precios para el agregador de consumo doméstico C_{j;t}. \Pi_{j;t} representa los beneficios domésticos transferidos a los hogares domésticos, dueños de empresas domésticas. En el lado financiero, los hogares comercian un bono internacional libre de riesgo denominado en dólares que paga una tasa de interés nominal i^{$}_{ j;t}. B^{\\\$}_{j;t+1} denota las tenencias de deuda en dólares de este bono en el tiempo t. También tienen acceso a un conjunto completo de valores contingentes al estado doméstico (en moneda de j) que se negocian localmente y en oferta neta cero. Denotando S el conjunto de posibles estados del mundo, Q_{j;t}(s) es el precio en el período t de la seguridad que paga una unidad de moneda local en el periodo t + 1 y el estado s \in S, y B_{j;t+1}(s) son las tenencias correspondientes.
Mi problema radica en las demostraciones de los resultados que vendrán a continuación:
Las condiciones de optimalidad del problema del hogar producen el siguiente sistema de demanda: C_{ij,t}(\omega)= \gamma_{ij}\psi(D_{j,t}\frac{P_{ij,t}(\omega)}{P_{j,t}})C_{j,t}
donde \psi(.) := \Upsilon^{'-1}(.) > 0 para que \psi^{'}(.) < 0, D_{j;t} := \sum_i \int_{\Omega_i}\Upsilon^{'}(\frac{|\Omega_i|C_{ij,t}(\omega)}{\gamma_{j,t}C_{ij;t}})\frac{C_{ij;t}(\omega)}{C_{j;t}}d\omega es un índice de demanda y P_{ij ; t}\omega) denota el precio de la variedad \omega producida en el país i y vendida en el país j, en la moneda de j. Definir la elasticidad de la demanda \sigma_{ij;t}(\omega) := -\frac{\partial log C_{ij;t}(\omega)}{\partial log Z_{ij;t}(\omega)}, donde Z_{ij;t}(\omega) := D_{j;t}\frac{P_{ij;t}(\omega)}{P_{j;t}}.
El logaritmo del incremento de precio flexible óptimo es \mu_{ij;t}(\omega):= log(\frac{\sigma_{ij;t}}{\sigma_{ij;t}-1}). Es variable en el tiempo y permitimos que \Gamma_{ij;t}(\omega) := \frac{\partial \mu_{ij;t}}{\partial log Z_{ij;t}(\omega)} denote la elasticidad de ese incremento. Por definición, el índice de precios P_{j;t} satisface P_{j;t}C_{j;t} =\sum_i \int_{\Omega_i} P_{ij;t}(\omega)C_{ij;t}(\omega)d\omega.
Gracias de antemano
