Estoy buscando explicación y demostración sobre el modelo Gopinath:
La función de utilidad por período es separable en consumo y trabajo, y se da por: $$U(C_{j;t};N_{j;t})= \frac{1}{1-\sigma_c}C^{1-\sigma_c}_{j;t} - \frac{\kappa}{1+\varphi}N^{1+\varphi}_{j;t}$$ donde $\sigma_c > 0$ es el coeficiente de aversión al riesgo relativo del hogar, $\varphi > 0$ es el inverso de la elasticidad de Frisch de la oferta de trabajo y $\kappa$ escala la desutilidad del trabajo.
El agregador de consumo $C_{j;t}$ está definido implícitamente por un agregador de demanda homotético de Kimball (1995): $$\sum_{i}\frac{1}{|\Omega_i|}\int_{\omega\in\Omega} \gamma_{ij}\Upsilon(\frac{|\Omega_i|C_{ij,t}(\omega)}{\gamma_{ij}C_{j,t}})d\omega=1$$
En la Ecuación (2), $C_{ij;t}(\omega)$ representa el consumo de los hogares en el país $j$ de la variedad $\omega$ producida por el país $i$ en el tiempo $t$. $\gamma_{ij}$ es un conjunto de pesos de preferencia que captura el sesgo de consumo local en el país $j$, con $\sum_{i} \gamma_{ij} = 1$, mientras que $|\Omega_i|$ es la medida de variedades producidas en el país $i$. La función $\Upsilon(.)$ satisface las restricciones $\Upsilon(1) = 1$, $\Upsilon^{'}(.) > 0$ y $\Upsilon^{''} (.) < 0$. Como es bien sabido, esta estructura de demanda da lugar a complementariedades estratégicas en los precios y en los incrementos variables. Captura el clásico canal de incrementos variables y fijación de precios en el mercado descrito a continuación.
Los hogares en el país $j$ resuelven el siguiente problema de optimización dinámica, $$\max_{C_{j,t}W_{j,t}B_{\\\$j,t+1}B_{j,t+1}(s')} \mathbb{E}_0\sum_{t = 0}^\infty \beta^{t}U(C_{j,t}N_{j,t})$$
donde $\mathbb{E}_t$ denota las expectativas condicionales a la información disponible en el tiempo t, sujeto a la restricción presupuestaria por período expresada en moneda local, $$P_{j,t}C_{j,t}+ \varepsilon_{\\\$j,t}(1+i_{j,t-1}^{\\\$})B_{j,t}^{\\\$}+B_{j,t}= W_{j,t}(h)N_{j,t}(h)+\Pi_{j,t}+\varepsilon_{\\\$j,t}B_{j,t+1}^{\\\$}+\sum_{s^{'}\in S}Q_{j,t}(s^{'})B_{j,t+1}(s^{'})$$
En esta expresión, $P_{j;t}$ es el índice de precios para el agregador de consumo doméstico $C_{j;t}$. $\Pi_{j;t}$ representa los beneficios domésticos transferidos a los hogares domésticos, dueños de empresas domésticas. En el lado financiero, los hogares comercian un bono internacional libre de riesgo denominado en dólares que paga una tasa de interés nominal $i^{$}_{ j;t}$. $B^{\\\$}_{j;t+1}$ denota las tenencias de deuda en dólares de este bono en el tiempo $t$. También tienen acceso a un conjunto completo de valores contingentes al estado doméstico (en moneda de $j$) que se negocian localmente y en oferta neta cero. Denotando S el conjunto de posibles estados del mundo, $Q_{j;t}(s)$ es el precio en el período $t$ de la seguridad que paga una unidad de moneda local en el periodo $t + 1$ y el estado $s \in S$, y $B_{j;t+1}(s)$ son las tenencias correspondientes.
Mi problema radica en las demostraciones de los resultados que vendrán a continuación:
Las condiciones de optimalidad del problema del hogar producen el siguiente sistema de demanda: $$C_{ij,t}(\omega)= \gamma_{ij}\psi(D_{j,t}\frac{P_{ij,t}(\omega)}{P_{j,t}})C_{j,t}$$
donde $\psi(.) := \Upsilon^{'-1}(.) > 0$ para que $\psi^{'}(.) < 0$, $D_{j;t} := \sum_i \int_{\Omega_i}\Upsilon^{'}(\frac{|\Omega_i|C_{ij,t}(\omega)}{\gamma_{j,t}C_{ij;t}})\frac{C_{ij;t}(\omega)}{C_{j;t}}d\omega$ es un índice de demanda y $P_{ij ; t}\omega)$ denota el precio de la variedad $\omega$ producida en el país $i$ y vendida en el país $j$, en la moneda de $j$. Definir la elasticidad de la demanda $\sigma_{ij;t}(\omega) := -\frac{\partial log C_{ij;t}(\omega)}{\partial log Z_{ij;t}(\omega)}$, donde $Z_{ij;t}(\omega) := D_{j;t}\frac{P_{ij;t}(\omega)}{P_{j;t}}$.
El logaritmo del incremento de precio flexible óptimo es $\mu_{ij;t}(\omega):= log(\frac{\sigma_{ij;t}}{\sigma_{ij;t}-1})$. Es variable en el tiempo y permitimos que $\Gamma_{ij;t}(\omega) := \frac{\partial \mu_{ij;t}}{\partial log Z_{ij;t}(\omega)}$ denote la elasticidad de ese incremento. Por definición, el índice de precios $P_{j;t}$ satisface $P_{j;t}C_{j;t} =\sum_i \int_{\Omega_i} P_{ij;t}(\omega)C_{ij;t}(\omega)d\omega$.
Gracias de antemano
