Expresando la Sonrisa de Volatilidad como un Sólo Número

Question

¿Existe una forma aceptada en la academia/industria de expresar la sonrisa de volatilidad como un solo número? (No la superficie completa de volatilidad, sino solo la sonrisa para una cierta madurez de opción: es decir, la volatilidad implícita como una función de strike).

Una de las ideas que me vino a la mente es tomar la segunda derivada en el dinero, es decir, si $f(K)$ es la volatilidad implícita y $K$ es el strike:

$$f^{''}(K)\approx\frac{f(K_{ATM}+h)-2f(K_{ATM})+f(K_{ATM}-h)}{h^2}$$ para algún $h>0$. Pero eso es solo una de las muchas formas obvias de resumir la "curvatura" alrededor del punto del ATM: ¿existe una forma aceptada de expresar la sonrisa como un solo número?

Answer 1

Investigué el parámetro vol of vol en el modelo SABR y quería compartir mis pensamientos al respecto como una medida prospectiva de curvatura. El modelo SABR está gobernado por los siguientes procesos estocásticos:

$$ dF_t = \sigma_t(F_t)^{\beta}dW_t \quad d\sigma_t = \alpha \sigma_t dZ_t \quad dW_t dZ_t = \rho t $$

Algunas reflexiones sobre las propiedades del modelo SABR y su viabilidad para capturar la inclinación / sonrisa de volatilidad:

• La medida VoV mencionada parece ser $\alpha$ en el modelo SABR.
• Calibre los parámetros del modelo SABR según la inclinación de volatilidad actualmente observada o según el precio de las opciones según el modelo Black-76 - ambos métodos de calibración deberían producir los mismos valores de parámetros.

En conclusión, esto parece ser más una cuestión empírica de representación.