Entiendo la lógica económica detrás de esto, que la cartera activa con la mayor proporción de información también tendrá la mayor proporción de Sharpe, pero no puedo ver cómo $SR_B^2 = SR_P^2 - IR^2 $
Respuesta
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ria
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Esto ha sido demostrado en Grinold & Kahn (1999), Active Portfolio Management (p. 137 y siguientes). Primero, escriba $SR_P^2=SR_B^2+IR^2$ como $\left(\frac{f_Q}{\sigma_Q}\right)^2 = \left(\frac{f_B}{\sigma_B}\right)^2 + IR^2$. También tenga en cuenta que la razón de información máxima está relacionada con el Sharpe de la cartera $Q$ de la siguiente manera: $IR=\frac{\alpha_Q}{\omega_Q}=SR\cdot \frac{\omega_Q}{\sigma_Q}$ donde $\omega_Q$ es el riesgo residual. Se define como $\omega_Q=\sqrt{\sigma_Q^2-\beta^2_Q \sigma^2_B}$ (ver p. 50) donde $\beta_Q=\frac{Cov[r_{Q},r_{B}]}{\sigma^2_B}$ es el beta de la cartera $Q$ y el benchmark $B$.
Luego, se sigue que:
$$ \begin{align*} \left(\frac{f_Q}{\sigma_Q}\right)^2 &= \left(\frac{f_B}{\sigma_B}\right)^2 + IR^2 \\ &= \left(\frac{f_B}{\sigma_B}\right)^2 + \left(\frac{f_Q}{\sigma_Q} \right)^2 \left(\frac{\omega_Q}{\sigma_Q} \right)^2 \\ &= \frac{f^2_B}{\sigma^2_B} + \frac{f^2_Q}{\sigma^2_Q} \cdot \frac{\sigma_Q^2-\beta^2_Q \sigma^2_B}{\sigma^2_Q} \\ &= \frac{f^2_B}{\sigma^2_B} + \frac{f^2_Q}{\sigma^2_Q} - \beta^2_B \frac{f^2_Q\sigma^2_B}{\sigma^4_Q} \\ &= \frac{f^2_B}{\sigma^2_B} + \frac{f^2_Q}{\sigma^2_Q} - \left(\frac{f_B\sigma^2_Q}{f_Q\sigma^2_B} \right)^2 \frac{f^2_Q\sigma^2_B}{\sigma^4_Q} \\ &= \frac{f^2_B}{\sigma^2_B} + \frac{f^2_Q}{\sigma^2_Q} - \frac{f^2_B}{\sigma^2_B} \\ &= \frac{f^2_Q}{\sigma^2_Q} \end{align*} $$
Tenga en cuenta que se puede resolver el tercer paso desde el final utilizando la información sobre las tenencias de la cartera $Q$ (que es una mezcla del benchmark $B$ y la cartera gestionada $A$) en la página 136.
