¿Cómo puede haber movimientos brownianos bajo diferentes medidas?

Question

Según la definición, para un movimiento Browniano se cumple que

$W_0 = 0$,
y
$W_t - W_s \in N(0, t-s), \quad t > s$.

Esto implica que $W_t \in N(0, t)$, para todo $t \geq 0$. Por lo tanto, la definición nos da la distribución de cada valor en el proceso, si no estoy entendiendo mal algo. ¿No significaría eso que la definición define de manera única el espacio de probabilidad (incluida la medida) para el proceso? Entonces, ¿cómo puede haber diferentes movimientos Brownianos bajo diferentes medidas?

He leído la respuesta a What is a Brownian motion "under the risk-neutral measure"?, pero aún no entiendo esto. Soy nuevo en el tema y no sé mucho sobre la teoría de la medida, así que si alguien pudiera dar una explicación algo simple, quizás en inglés sencillo, sería de gran ayuda.

Answer 1

Tal vez este ejemplo ayude:

$$\Omega=\{\omega_1,\omega_2\} $$

Consideremos las siguientes dos medidas de probabilidad

$$ \mathbb{P_1}(\{ \omega_1\}) = 0.4\ \ \ ; \ \ \mathbb{P_2}(\{ \omega_1\}) = 0.6 \ $$

y $\mathbb{P_i}(\{ \omega_2\})=1-\mathbb{P_i}(\{ \omega_1\})$ Consideremos las dos variables aleatorias: $$ X_1: \Omega \to \{0,1 \}, X_1(\omega_1) \mapsto 0 , X_1(\omega_2) \mapsto 1 $$ $$ X_2: \Omega \to \{0,1 \}, X_2(\omega_1) \mapsto 1 , X_2(\omega_2) \mapsto 0 $$

Observa que $X_1$ está distribuido bernoulli bajo $\mathbb{P_1}$ con $p=0.6$ mientras que $X_2$ está distribuido bernoulli bajo $\mathbb{P_1}$ con $p=0.4$

Pero si cambiamos la medida de $\mathbb{P_1}$ a $\mathbb{P_2}$, $X_1$ y $X_2$ intercambian sus distribuciones. Por lo tanto, al cambiar la medida cambiamos la distribución de las variables aleatorias. Así tenemos $$ X_1^{\mathbb{P_1}} \stackrel{\mathcal{D}}{=} X_2^{\mathbb{P_2}} $$

El mismo principio se aplica para el movimiento browniano. Aunque en este caso $\Omega$ es el conjunto de funciones continuas. Ser un movimiento browniano es una cuestión de distribución y no de la estructura del espacio de probabilidad.

Answer 2

Una respuesta simple que mencionó una vez nuestro profesor es que una habitación puede ser medida tanto en pulgadas como en metros. Ambas describirían el mismo proceso exacto (la habitación), pero en medidas diferentes $P$ o $Q$. Sin embargo, al considerar un proceso estocástico bajo diferentes medidas, la habitación misma puede mostrar diferentes propiedades. Por eso una Movimiento Browniano bajo $P$ puede ser diferente de bajo $Q$.