¿Qué suposiciones se pueden hacer para garantizar la convexidad en este problema de optimización?

Question

Esta pregunta es una continuación de la pregunta que hice en:

¿Cómo puedo mostrar la convexidad de esta función de valor?

Donde llegué a la conclusión de que se requieren más suposiciones para demostrar que la siguiente función de valor de bienestar es convexa en términos de $A$:

$$V(A)=\max_{l, C} \quad u(C,l)$$

Donde la única restricción es la siguiente:

$$C=f(l,A)$$

Aquí $u$ es la función de utilidad que captura el bienestar social. $f$ es la función de producción que produce el consumo $C$.

$l$ representa el trabajo y por lo tanto la función de utilidad $u$ es decreciente en la entrada de $l$, mientras que la función de producción $f$ es creciente en $l$. Claramente, $u$ es creciente en términos de consumo $C$. Finalmente, $A$ es una variable de estado, que es una entrada negativa a la función de producción, es decir, más $A$ equivale a menos producción.

Aquí asumo que la función de utilidad captura las propiedades habituales de concavidad/convexidad, capturando el beneficio marginal decreciente de las cosas buenas y el costo marginal creciente de las cosas malas. También asumo que $f$ es una función continua.

Ahora mi pregunta de seguimiento es qué tipo de suposiciones se deben hacer sobre $f$ para asegurar que la función de valor sea convexa en términos de $A$?

Answer 1

Suponemos que $f$ es convexa en $A$ y que $u$ es convexa y creciente en $c$. También suponemos que el problema de optimización tiene una solución.

Consideremos $A_1$ y $A_2$ y sea $\alpha \in [0,1]$. Sea: $$ (c_\alpha, \ell_\alpha) \in \arg\max_{c, \ell} u(c,\ell) \text{ tal que } c = f(\ell, \alpha A_1 + (1-\alpha) A_2). $$

Observa que $V(\alpha A_1 + (1-\alpha)A_2) = u(c_\alpha, \ell_\alpha)$.

Por la convexidad de $f$ en $A$: $$ \begin{align*} c_\alpha &= f(\ell_\alpha, \alpha A_1 + (1-\alpha) A_2),\\ &\le \alpha \underbrace{f(\ell_\alpha, A_1)}_{=c_1} + (1-\alpha) \underbrace{f(\ell_\alpha, A_2)}_{=c_2}. \end{align*} $$

Por definición $c_1 = f(\ell_\alpha, A_1)$ y $c_2 = f(\ell_\alpha, A_2)$ cumplen con las restricciones para $A_1$ y $A_2$, entonces: $$ V(A_1) \ge u(c_1, \ell_\alpha) \text{ y } V(A_2) \ge u(c_2, \ell_\alpha). $$

Luego, utilizando la monotonía de $u$ en $c$ (y $c_\alpha \le \alpha c_1 + (1-\alpha) c_2)$ junto con la convexidad de $u$ en $c$ obtenemos: $$ \begin{align*} V(\alpha A_1 + (1-\alpha) A_2) &= u(c_\alpha, \ell_\alpha),\\ &\le u(\alpha c_1 + (1-\alpha) c_2, \ell_\alpha),\\ &\le \alpha u(c_1,\ell_\alpha) + (1-\alpha) u(c_2, \ell_\alpha),\\ &\le \alpha V(A_1) + (1-\alpha) V(A_2). \end{align*} $$