La relación de preferencia lexicográfica no es continua

Question

Tengo problemas para entender por qué las relaciones de preferencia lexicográfica no son continuas. Necesito inspiración sobre cómo funcionaría esta demostración.

Answer 1

Definición: $\succsim$ en $\mathbb{R}^2_+$ se dice que es continua si

para cualquier par de sucesiones convergentes $(x'_n,y'_n), (x''_n,y''_n) \in \mathbb{R}^2_+$,

$(x'_n,y'_n)\succsim (x''_n,y''_n)$ para todo $n\in\mathbb{N}$

implica

$\lim_{n\rightarrow\infty} (x'_n,y'_n)\succsim \lim_{n\rightarrow\infty} (x''_n,y''_n)$

Definición: La relación de preferencia lexicográfica $\succsim$ en $\mathbb{R}^2_+$ se define de la siguiente manera:

para cualquier par $(x_1,y_1), (x_2,y_2) \in \mathbb{R}^2_+$,

$(x_1,y_1)\succsim (x_2,y_2)$ si y solo si ya sea $x_1 > x_2$ o $(x_1 = x_2 \text{ y } y_1\geq y_2)$

Reclamación. La relación de preferencia lexicográfica $\succsim$ en $\mathbb{R}^2_+$ no es continua.

Prueba. Considere las siguientes dos sucesiones:

$(x'_n,y'_n) = \left(1+\frac{1}{n},0\right)$

y una sucesión constante

$(x''_n,y''_n) = (1,1)$

Observa que $(x'_n,y'_n)\succsim (x''_n,y''_n)$ para todo $n\in\mathbb{N}$ es cierto, pero $\lim_{n\rightarrow\infty} (x'_n,y'_n) = (1,0) \not\succsim (1,1)=\lim_{n\rightarrow\infty} (x''_n,y''_n)$.

Answer 2

Por ejemplo, para las preferencias lexicográficas en $[0,1] \times [0,1]$ toma cualquier bola alrededor de $(1,1)$. Aunque sabes que $(1,1) \succ (1,0)$, existen puntos en la bola dada ($(1-\epsilon,1)$) tal que $(1,0) \succ (1-\epsilon,1)$, lo cual contradice la definición de continuidad. ¡Espero que esto ayude!