Acabo de ver el comentario de Amit en esta pregunta: El segundo teorema del bienestar sin monotonicidad así que me puse curioso e intenté encontrar tanto la curva de contrato para ese problema en particular, como los equilibrios walrasianos cuando ambos agentes tienen las dotaciones $(w_x,w_y)=(2,2)$.
El problema con respecto al comentario de Amit es
$u_i(x_i,y_i) = - (x_i-1)^2 - (y_i-1)^2$
$w_x = 4$
$w_y = 4$
Dado que la función de utilidad (en este caso la misma para ambos agentes) es diferenciable en todas partes y no lineal, al utilizar $MRS_1 = MRS_2$ y las restricciones de dotación obtengo la curva de contrato. Al hacer este procedimiento, encontré que la curva de contrato es $y_1 = x_1$.
Claramente, la asignación $((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = ((2,2),(2,2))$ pertenece a la curva de contrato.
Sin embargo, Amit dijo en su comentario que la asignación $((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = ((2,2),(2,2))$ no es un equilibrio competitivo.
Mi curiosidad me llevó a hacer el experimento de tratar de encontrar el Equilibrio de Walras para el problema anterior, dadas las dotaciones como la asignación $((w_{x1},w_{y1}),(w_{x2},w_{y2})) = ((2,2),(2,2))$.
Comencé calculando las demandas de los consumidores como de costumbre.
Dado que ambos consumidores tienen la misma función de utilidad y dotaciones, resolver este problema de optimización me daría las funciones de demanda para ambos consumidores:
$\max -(x-1)^2-(y-1)^2$
sujeto a $p_x x + p_y y = 2 p_x + 2 p_y$
Usando el atajo $MRS = \frac{p_x}{p_y}$,
$\frac{\frac{\partial u_i}{\partial x}}{\frac{\partial u_i}{\partial y}} = \frac{p_x}{p_y} \implies \frac{-2 (x-1)}{-2(y-1)} = \frac{p_x}{p_y} \implies \frac{x-1}{y-1} = \frac{p_x}{p_y} \implies x-1 = \frac{p_x}{p_y}(y-1) \implies x = \frac{p_x}{p_y} (y-1) + 1$
$\implies x = \frac{p_x}{p_y} y - \frac{p_x}{p_y} + 1$
Sustituyendo esta expresión para $x$ en la restricción presupuestaria,
$p_x (\frac{p_x}{p_y} y - \frac{p_x}{p_y} + 1) + p_y y = 2 p_x + 2 p_y \implies \frac{{p_x}^2}{p_y} y - \frac{{p_x}^2}{p_y} + p_x + p_y y = 2 p_x + 2 p_y$
$\implies (\frac{{p_x}^2}{p_y} + p_y) y = 2 p_x + 2 p_y + \frac{{p_x}^2}{p_y} - p_x \implies y = \frac{2 p_x + 2 p_y + \frac{{p_x}^2}{p_y} - p_x}{\frac{{p_x}^2}{p_y} + p_y}$
Por simplicidad, tomemos como numeraire $p_y = 1$
$\implies y = \frac{2 p_x + 2 + {p_x}^2 - p_x}{{p_x}^2 + 1}$
Simplificando para obtener las demandas del bien $y$
${y_1}^\star = {y_2}^\star = \frac{{p_x}^2 + p_x + 2}{{p_x}^2 + 1}$
La expresión anterior para $x$ después de tener en cuenta que $p_y = 1$ como numeraire se convierte en
$x = p_x y - p_x + 1$
Sustituyendo la demanda de $y$ en esta expresión
$\implies x = p_x (\frac{{p_x}^2 + p_x + 2}{{p_x}^2 + 1} - 1) + 1 \implies x = p_x \cdot \frac{{p_x}^2 + p_x + 2 - {p_x}^2 - 1}{{p_x}^2 + 1} + 1 \implies x = p_x \cdot \frac{p_x + 1}{{p_x}^2 + 1} + 1 \implies x = \frac{{p_x}^2 + p_x + {p_x}^2 + 1}{{p_x}^2 + 1} \implies {x_1}^\star = {x_2}^\star = \frac{2 {p_x}^2 + p_x + 1}{{p_x}^2 + 1}$
La condición de equilibrio en el bien $y$ es
${y_1}^\star + {y_2}^\star = 4 \implies 2 \cdot \frac{{p_x}^2 + p_x + 2}{{p_x}^2 + 1} = 4 \implies \frac{{p_x}^2 + p_x + 2}{{p_x}^2 + 1} = 2 \implies {p_x}^2 + p_x + 2 = 2 {p_x}^2 + 2 \implies p_x = {p_x}^2$
$\implies {p_x}^2 - p_x = 0 \implies p_x (p_x - 1) = 0$
De aquí obtenemos que $p_x = 1$ o $p_x = 0$.
Sustituir $p_x = 0$ en la condición de equilibrio para el bien $x$ conduce a una contradicción, mientras que $p_x = 1$ funciona.
Por lo tanto, ${p_x}^\star = 1$ es el único precio relativo de equilibrio.
Sustituir ${p_x}^\star = 1$ en cada función de demanda da como resultado la asignación $((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = ((2,2),(2,2))$
Esto implicaría que la asignación $((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = ((2,2),(2,2))$ es la asignación de equilibrio respaldada por los precios relativos $\frac{{p_x}^\star}{{p_y}^\star} = 1$, contradiciendo el comentario de Amit.
¿Es incorrecto aplicar alguno de los métodos habituales para funciones de utilidad no monótonas?
Tracé la situación en GeoGebra, lo que parece indicar que mis resultados son correctos:
Ejes de GeoGebra: Ejes del agente A
Ejes naranjas: Ejes del agente B
Línea púrpura: Curva de contrato
Puntos azules: Punto bliss para cada agente, como dicen las etiquetas
Círculo rojo: Curva de indiferencia de A
Círculo negro: Curva de indiferencia de B
Línea verde: Línea de precio $\frac{{p_x}^\star}{{p_y}^\star} = 1$, pasando por la asignación $((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = ((2,2),(2,2))$, que de hecho es tangente a las curvas de indiferencia de ambos agentes.
