Asimetría Equivalente a Aditividad de la Varianza

Question

Sea $S$ una difusión con incrementos independientes y supongamos que tenemos opciones en $S$ con vencimientos $T_1$ y $T_2$ y vols implícitas ATM $\sigma_1$ y $\sigma_2$. Denotemos $X_1$ y $X_2$ los log retornos de $S$ durante estos dos períodos. Entonces, dado que la varianza de variables aleatorias independientes es aditiva, podemos construir vols forward a través de $$\tilde{\sigma_2} = \sqrt{\frac{\sigma_2^2 T_2 - \sigma_1^2 T_1}{T_2-T_1}}$$ Ahora, denotemos $\kappa_1 = E[X_1^3]$ y $\kappa_2 = E[X_2^3]$. Suponiendo media 0, por independencia tenemos $$E[\log(S_2/S_0)^3] = \kappa_1 + \kappa_2$$ Usando este resultado, quiero derivar una asimetría forward usando alguna medida de la asimetría. ¿Cómo podrían escalar estas cantidades con el tiempo? En otras palabras, ¿existe alguna afirmación equivalente a la escala lineal de la varianza con el tiempo? Solo por intuición, mi suposición es $\propto \sqrt{T^3}$.

Pregunta de seguimiento: ¿Qué pasaría si hicieramos estas propiedades invariables a la escala y dividiéramos por las vols ATM? ¿Existe una relación alternativa en este caso?

Buscando resultados sobre procesos de incremento independientes para refutar o justificar mi intuición.

Answer 1

Actualización: Creo que malinterpreté tu pregunta, así que déjame agregar otra respuesta también.

La respuesta A derivará una fórmula para la asimetría hacia adelante, la respuesta B mostrará la propiedad general de la asimetría como una función del número de incrementos que estamos agregando.

Respuesta A: Asimetría hacia adelante

Supongamos dos incrementos independientes con media cero $X_1$ y $X_2$ y sea su suma $Z=X_1+X_2$. Además, asumimos que ya existe conocimiento de $\mathrm{Var}(X_1)$, $\mathrm{skew}(X_1)$ así como de $\mathrm{Var}(Z)$ y $\mathrm{skew}(Z)$.

Luego podemos reescribir la ecuación de asimetría $$ \begin{align} \mathrm{skew}(Z)&\equiv \frac{\mathrm{E}(X_1^3+X_2^3)}{\mathrm{E}\left(X_1^2+X_2^2\right)^{1.5}}\\ &= \frac{\mathrm{skew}(X_1)\mathrm{Var}(X_1)^{1.5}+\mathrm{skew}(X_2)\mathrm{Var}(X_2)^{1.5}}{\left(\mathrm{Var}(X_1)+\mathrm{Var}(X_2)\right)^{1.5}}\\ \Rightarrow \mathrm{skew}(X_2)&=\frac{\mathrm{skew}(Z)\left(\mathrm{Var}(X_1)+\mathrm{Var}(X_2)\right)^{1.5}-\mathrm{skew}(X_1)\mathrm{Var}(X_1)^{1.5}}{\mathrm{Var}(X_2)^{1.5}}\\ &=\frac{E(Z^3)-E(X_1^3)}{(E(Z^2)-E(X_1)^2)^{1.5}} \end{align} $$

En otras palabras, como $E(Z^k)=E(X_1^k)+E(X_2^k)$, simplemente podemos resolver para ambos momentos hacia adelante $E(X_2^k)$ ($k=2$,$k=3$) y calcular la asimetría hacia adelante de manera bastante sencilla. Lo mismo se aplica a la curtosis, por supuesto.

Respuesta B: Asimetría de $n$ incrementos independientes

Con incrementos independientes $X_i$ y dada la momentos estandarizados

$$ \begin{align} E(X_i)&\equiv k_1\\ E\left(\left(X_i-E(X_i)\right)^2\right)&\equiv k_2\\ E\left(\left(X_i-E(X_i)\right)^3\right)&\equiv k_3 \end{align} $$

para la variable aleatoria $Z=\sum_{i=1}^nX_i$ $$ \begin{align} E(Z)&= nk_1\\ E\left(\left(Z-E(Z)\right)^2\right)&= nk_2\\ E\left(\left(Z-E(Z)\right)^3\right)&= nk_3 \end{align} $$

es decir, los momentos estandarizados escalan linealmente con el número de incrementos (es decir, con el tiempo). Como la asimetría se define como $\mathrm{skew}\equiv \frac{k_3}{k_2^{1.5}}$ tenemos

$$ \mathrm{skew}(Z)=\frac{E\left(\left(Z-E(Z)\right)^3\right)}{\left(E\left(\left(Z-E(Z)\right)^2\right)\right)^{1.5}}=\frac{n}{n^{1.5}}\frac{k_3}{k_2^{1.5}}=\frac{1}{\sqrt{n}}\mathrm{skew}(X) $$

Es decir, teóricamente, con incrementos independientes, la asimetría tiende a cero aproximadamente en $\frac{1}{\sqrt{N}}$.

Answer 2

$Y=log(S2/S1)=X2-X1$.

$E(Y+X1)^3=skew(Y)+k1=k2$, entonces $skew(Y)=k2-k1.$

Si asumimos el mismo sesgo para todos los $log (S_k/S_{k-1})$ entonces el sesgo crece linealmente con el tiempo, al igual que la varianza.

Si puedes describir lo que significa hacer propiedades invariables a escala, también puedo ayudarte con eso.

¡Gracias!