¿Por qué se considera que SABR es el modelo de elección para las swaptions? ¿El modelo de Heston no es adecuado? ¿Heston produce dinámicas irreales con respecto al mercado de swaptions?
Respuesta
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anon
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TL:DR Con SABR aún puedes utilizar tu fórmula favorita Black-76 / Bachelier y mejorar tu estrategia de cobertura prácticamente gratis. Y al operar con opciones, no hay buen precio sin una buena cobertura.
Más en detalles, los escritorios de derivados de tasas de interés no utilizan el modelo SABR para calcular los instrumentos de tipo vainilla debido en parte a la ausencia de fórmulas analíticas, ya que las soluciones de diferencias finitas a la EDP son bastante rápidas y precisas.
Al tasar opciones vanilla europeas (swaptions, caps/floors), utilizan la Fórmula Black-76 o la Fórmula Bachelier. SABR se utiliza (en su mayoría) como una interpolación respaldada por el modelo de la curva de volatilidad implícita (la llamada sonrisa o asimetría). Lo que obtienes son ratios de cobertura coherentes con la sonrisa, que es lo que realmente falta en esos modelos "simples".
Permíteme ser un poco más formal, deja que $C(\tau, F, K, \sigma)$ sea el precio de la opción en un forward (tasa o precio, no importa) $F$ con un strike $K$, volatilidad instantánea $\sigma$ y tiempo hasta el vencimiento $\tau$.
Para cubrir los riesgos de mercado de las opciones, debes establecer tu cartera comprando/vendiendo una "cantidad delta" del activo subyacente
$$\Delta_{blk} = \frac{\delta C(F)}{\delta F}$$
Si admites algún tipo de dependencia de la volatilidad instantánea sobre el subyacente, es decir $\sigma(F)$, la cantidad delta real se convierte en
$$\Delta_{SABR} = \frac{\delta C(F,\sigma(F))}{\delta F} = \underbrace{\frac{\delta C(F)}{\delta F}}_{\Delta_{blk}} + \underbrace{\frac{\delta C(\sigma(F))}{\delta \sigma}\frac{\delta \sigma(F)}{\delta F}}_{\text{Delta Sombra}}
Observa cómo en la configuración básica (Black-75 / Bachelier) $\frac{\delta \sigma(F)}{\delta F}=0$: terminas con una "cantidad incorrecta" de activo subyacente en tu cartera de cobertura y, por lo tanto, aumentando la varianza de tu distribución de pérdidas y ganancias.
Con el modelo SABR tienes una clara parametrización de $\sigma(F)$ y, por lo tanto, puedes obtener $\frac{\delta \sigma(F)}{\delta F}$, corrigiendo la cantidad de cobertura.
De la misma manera, puedes calcular la cantidad correcta de "vega".
Además, los parámetros de SABR son altamente interpretables en términos de movimientos de la curva de volatilidad implícita, por lo que puedes calcular la exposición frente a inclinaciones / curvaturas de dicha curva y mejorar aún más la cobertura.
Finalmente, la calibración de SABR es cuestión de instantes y obtienes una característica adicional: puedes seguir en tiempo real los cambios en el nivel de volatilidad implícita calibrando el parámetro alfa con las comillas At-the-money. Estas comillas suelen ser muy líquidas y se mueven rápidamente en comparación con las alas de la sonrisa fuera del dinero (especialmente en el mercado de swaptions) y esto es tan rápido como calcular la raíz de un polinomio de 3er grado (o incluso más rápido en algunas aproximaciones de la volatilidad implícita de SABR).
Referencias
Oblój, J. (2007). Ajusta tu sonrisa: Corrección a Hagan et al. Preimpresión arXiv arXiv:0708.0998.
Bartlett, B. (2006). Cobertura bajo el modelo SABR. Revista Wilmott, 4, 2-4.
Hagan, P. S., Kumar, D., Lesniewski, A. S., & Woodward, D. E. (2002). Gestión del riesgo asociado a la sonrisa. Lo mejor de Wilmott, 1, 249-296.
