Ejercicio 6.1 Teoría de la IO (libro de Jean Tirole)

Question

Estoy tratando de resolver el ejercicio 6.1 del famoso libro de Jean Tirole, La teoría de la Organización Industrial. Estoy atascado en una parte que él considera "directa":

"Supongamos que hay dos empresas, con costos unitarios $c_1 < c_2$. Sea $p^m(c)$ el precio de monopolio para el costo unitario $c$; maximiza $(p-c)D(p)$. Si las dos empresas pudieran ponerse de acuerdo y firmar un contrato, permitirían que la empresa 1 produzca todo y cobre $p^m(c_1)$. Esto maximizaría los beneficios de la industria. Entonces la "tarta" podría ser dividida entre las dos empresas a través de una transferencia global de la empresa 1 a la empresa 2. Pero supongamos que es ilegal para las empresas acordar abiertamente y usar pagos adicionales. Podemos determinar el conjunto de asignaciones de la industria que son eficientes para las dos empresas, limitadas por el hecho de que se prohíben los pagos adicionales [...]. Para esto, fijamos un objetivo de beneficio $\bar\Pi_2$ para la empresa 2 en el intervalo $[0, \Pi^m(c_2)]$ y buscamos acuerdos de reparto de beneficios (sin transferencias) en los que ambas empresas cobren el mismo precio $p$. Eligen cuotas de mercado $s_1$ y $s_2$ de modo que $s_1 + s_2 = 1$. La interpretación de estas cuotas de mercado es que la empresa $i$ produce exactamente $q_i = s_iD(p)$; si $s_i<1/2$, los consumidores que van a la empresa $i$ y están racionados compran a la empresa $j$. Dado el objetivo de beneficio $\bar\Pi_2$ para la empresa 2, la asignación eficiente es una elección de precio $p$ y cuotas de mercado $s_1$ y $s_2$ para resolver:

\begin{align} \max_{p, s_1, s_2} & (p-c_1)s_1 D(p) \\ s.t. & (p-c_2)s_2 D(p) \geq \bar\Pi_2 \\ & s_1 + s_2 = 1 \end{align}

Supongamos que la función de beneficio (p-c)D(p) es cóncava para todo $p$ y todo $c$.

(i) Después de sustituir $s_1$, obtener las condiciones de primer orden. Mostrar que

$p^m(c_1) \leq p \leq p^m(c_2)$

Mostrar que la función objetivo es cóncava (he hecho esto, la idea es darse cuenta a partir de las condiciones de primer orden de que $D(p)+(p-c_1)D(p) \leq 0$ y que $D(p)+ (p-c_2)D(p) \geq 0$, y luego se demuestra el resultado por contradicción mostrando que no puede ser ni que $p^* < p^m(c_1)$ ni que $p > p^m(c_2)$, luego en el segundo punto, es solo álgebra tediosa).

(ii) Mostrar que

$$(p-c_1)D'(p) + D(p) + \frac{(c_2 - c_1)\bar\Pi_2}{(p-c_2)^2} = 0 $$

Este es el que no puedo resolver... ¿Alguna ayuda?

He llegado a este punto:

$$(p-c_1)D'(p) + D(p) + \frac{(p-c_1)\bar\Pi_2}{(p-c_2)^2}\frac{(p-c_2)D'(p) + D(p)}{D(p)-\bar\Pi_2/((p-c_2)D(p))} = 0 $$

Answer 1

Para mayor comodidad notacional, escribiré $D$ en lugar de $D(p)$.

El problema es el siguiente: $$ \max_{s_2, p} (p - c_1)(1 - s_2) D \text{ s.t. } (p - c_2) s_2 D \ge \overline{\Pi}_2. $$ Las condiciones de primer orden dan (donde $\lambda$ es el multiplicador de Lagrange): $$ \begin{align*} &(1 - s_2) D + (p - c_1)(1 - s_2)D' - \lambda s_2 D - \lambda (p - c_2)s_2 D' = 0,\\ &-(p - c_1) D - \lambda (p - c_2) D = 0,\\ &(p - c_2) s_2 D = \overline{\Pi}_2. \end{align*} $$ La segunda condición nos dice que $\lambda = - \dfrac{p - c_1}{p - c_2}$. Sustituir en la primera condición.

$$ (1 - s_2)D + (p - c_1)(1 - s_2) D' + \frac{(p - c_1)}{(p - c_2)} s_2 D + (p - c_1)s_2 D' = 0. $$ Agrupando términos: $$ \frac{D}{p - c_2}\left((1 - s_2)(p - c_2) + s_2(p - c_1)\right) + D'(p - c_1) = 0. $$

La tercera condición de primer orden nos da: $$ s_2 = \frac{\overline{\Pi}_2}{(p - c_2)D}, $$ Entonces: $$ (1 - s_2)(p - c_2) + s_2(p - c_1) = (p - c_2) - \frac{\overline{\Pi}_2}{D} + \frac{\overline{\Pi}_2 (p - c_1)}{D(p - c_2)} $$ Usando esto, obtenemos la condición: $$ \begin{align*} 0 &= \frac{D}{p - c_2}\left((p - c_2) - \frac{\overline{\Pi}_2}{D} + \frac{\overline{\Pi}_2 (p - c_1)}{D(p - c_2)}\right) + D'(p - c_1),\\ &= D - \frac{\overline{\Pi}_2}{p - c_2} + \frac{\overline{\Pi}_2(p - c_1)}{(p - c_2)^2} + D'(p - c_1),\\ &= D + D'(p - c_1) + \overline{\Pi}_2 \frac{c_2 - c_1}{(p - c_2)^2}. \end{align*} $$