He estado leyendo sobre generalizaciones del concepto de elasticidad de sustitución para más bienes/insumos y han surgido tres posibilidades principales:
- EOS Hicksiano
- EOS Allen-Uzawa
- EOS Morishima
HICKS
Según entiendo, el EOS Hicksiano es simplemente una aplicación del EOS en pares de bienes manteniendo constantes los demás:
$$\sigma_{i,j}^{H} = \frac{\frac{\partial x_j/x_i}{x_j/x_i}}{\frac{\partial MRS_{i,j}}{MRS_{i,j}}}$$
donde $MRS_{i,j} = MU_i/MU_j$. Esto se puede calcular para cualquier $i$ y $j$.
Por lo tanto, el EOS Hicksiano debería medir la EOS entre dos bienes/insumos mientras se consideran constantes los demás.
Sin embargo, más allá de esto, las cosas comienzan a ponerse extrañas. Por ejemplo, me he encontrado con esto:
$$\sigma_{i,j}^{??} = \frac{\frac{\partial U}{\partial x_i} \frac{\partial U}{\partial x_j}}{U \cdot \frac{\partial^2 U}{\partial x_i \partial x_j}}$$
lo cual tiene implicaciones diferentes a la elasticidad previa, ¿sin embargo, aún podría pertenecer a Hicks?
Allen-Uzawa
En lo que respecta al EOS Allen-Uzawa, es curioso cuántos cálculos diferentes se ofrecen allí:
Está esto:
$$ \sigma_{i,j}^{AU} = \frac{x_1 \frac{\partial U}{\partial x_1} + \dots x_n \frac{\partial U}{\partial x_n}}{\frac{\partial U}{\partial x_i} \frac{\partial U}{\partial x_j}} \frac{F_{i,j}}{F} $$
donde $F$ debería ser un determinante y $F_{i,j}$ debería ser un co-factor de $ \frac{\partial^2 U}{\partial x_i \partial x_j}$ en este determinante.
Sin embargo, también existe esto:
$$\sigma_{i,j} = \frac{XPD_{i,j}}{S_j}$$
donde $XPD_{i,j}$ es la elasticidad cruzada de la demanda y $S_j$ es una participación del insumo $j$ en el costo total.
Morishima
El último es el más extraño:
$$\sigma_{i,j}^{M} = XPD_{j,i} - PD_{j,j} $$
Donde $XPD$ es una elasticidad cruzada del insumo $j$ según el precio de $i$ y $PD$ es la elasticidad del precio propio de la demanda.
La pregunta:
En este momento, esto me parece un poco caótico. Casi todas estas parecen ser completamente no relacionadas entre sí. Luego, está por supuesto el hecho de que en la definición posterior se introdujeron los precios, mientras que la definición original define la elasticidad de sustitución como una propiedad de la función de utilidad (concretamente, la curvatura de la curva de indiferencia). Así que estoy un poco confundido en este momento y me gustaría hacer las siguientes preguntas:
- ¿Qué tienen en común estos?
- ¿Cómo difieren?
- ¿Cómo los últimos generalizan realmente a los primeros?
- ¿Sirven como una medida de cuánto los bienes son sustitutos o complementos?
- ¿Por qué los últimos operan con precios si el original es únicamente una propiedad de una función?
- ¿Cuál sería la relación entre el precio cruzado y el EOS?
