Como mencionaste, conocemos la aproximación de Abramovich-Stegun para la función de distribución acumulada $$\Phi(z) = h(z) \dfrac{\varphi(z)}{z} \left[ 1 - \dfrac{1}{z^2} + \mathcal{O}\left(z^{-4} \right)\right], \quad \text{para} \; |z| \to \infty.$$
Además, nota que podemos desarrollar el término $$ e^{\pm x/2} \varphi \left(\theta \left[\dfrac{x}{\sigma} \pm \dfrac{\sigma}{2} \right] \right) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \left\lbrace \pm \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x^2}{\sigma^2} + \dfrac{\sigma^2}{4}\right) \mp \dfrac{x}{2}\right\rbrace = \sqrt{2\pi} \varphi \left( \dfrac{x}{\sigma}\right) \varphi \left(\dfrac{\sigma}{2} \right), $$ donde $ \sqrt{2\pi} \varphi \left( \dfrac{x}{\sigma}\right) \to 1 $ para $\sigma \to \infty$ y $ \sqrt{2\pi} \varphi \left( \dfrac{\sigma}{2}\right) \to 1 $ para $\sigma \to 0$.
Dividiré la derivación en los dos casos, $\sigma \to 0$ y $\sigma \to \infty$.
Primer caso: $\sigma \to 0$
En el caso $\sigma\to0$ esto significa $$ e^{\pm x/2}\Phi \left(\theta \left[\dfrac{x}{\sigma} \pm \dfrac{\sigma}{2} \right]\right) \simeq e^{\pm x/2} \left\lbrace h(\theta \cdot x) - \dfrac{\varphi(\theta \left[\dfrac{x}{\sigma} \pm \dfrac{\sigma}{2} \right])}{\theta \left[\dfrac{x}{\sigma} \pm \dfrac{\sigma}{2} \right]} + \mathcal{O}\right\rbrace. $$
Luego, en la expresión para $b$, tenemos $$ \begin{aligned} b & = \theta \left\lbrace e^{x/2}\Phi \left(\theta \left[\dfrac{x}{\sigma} + \dfrac{\sigma}{2} \right]\right) e^{x/2} \Phi \left(\theta \left[\dfrac{x}{\sigma} - \dfrac{\sigma}{2} \right]\right)\right\rbrace \\ & \simeq \theta \cdot h(\theta \cdot x) \left( e^{x/2} e^{x/2} \right) + \theta \cdot \varphi(x/\sigma) \left[ \dfrac{-\theta}{\dfrac{x}{\sigma} + \dfrac{\sigma}{2}} + \dfrac{\theta}{\dfrac{x}{\sigma} - \dfrac{\sigma}{2}} \right] \end{aligned} $$ y haciendo álgebra simple se puede ver que el último término entre corchetes es igual (en el límite $\sigma \to 0$) $$ \left[ \dfrac{-1}{\dfrac{x}{\sigma} + \dfrac{\sigma}{2}} + \dfrac{1}{\dfrac{x}{\sigma} - \dfrac{\sigma}{2}} \right] = \dfrac{x}{\left( x / \sigma \right)^3}. $$
Por lo tanto, tenemos $$ b \simeq \theta \cdot h(\theta \cdot x) \left( e^{x/2} e^{x/2} \right) + \varphi(x/\sigma) \cdot x \cdot \left(\sigma / x\right)^3. $$
Segundo caso: $\sigma \to \infty$
En el caso $\sigma\to\infty$ esto significa $$ e^{\pm x/2}\Phi \left(\theta \left[\dfrac{x}{\sigma} \pm \dfrac{\sigma}{2} \right]\right) \simeq e^{\pm x/2} \left\lbrace h(\pm \theta) - \dfrac{\varphi(\theta \left[\dfrac{x}{\sigma} \pm \dfrac{\sigma}{2} \right])}{\theta \left[\dfrac{x}{\sigma} \pm \dfrac{\sigma}{2} \right]}+ \mathcal{O} \right\rbrace. $$
Luego, en la expresión para $b$, tenemos $$ \begin{aligned> b & = \theta \left\lbrace e^{x/2}\Phi \left(\theta \left[\dfrac{x}{\sigma} + \dfrac{\sigma}{2} \right]\right) e^{x/2} \Phi \left(\theta \left[\dfrac{x}{\sigma} - \dfrac{\sigma}{2} \right]\right)\right\rbrace \\ & \simeq \theta \left( e^{x/2} h(\theta \cdot x) h(-\theta \cdot x) e^{x/2} \right) + \theta \cdot \varphi(\sigma / 2) \left[ \dfrac{-\theta}{\dfrac{x}{\sigma} + \dfrac{\sigma}{2}} + \dfrac{\theta}{\dfrac{x}{\sigma} - \dfrac{\sigma}{2}} \right] \end{aligned> $$
similarmente al caso anterior, ahora en el límite $\sigma \to \infty$, tenemos $$ \left[ \dfrac{-1}{\dfrac{x}{\sigma} + \dfrac{\sigma}{2}} + \dfrac{1}{\dfrac{x}{\sigma} - \dfrac{\sigma}{2}} \right] = - 4 / \sigma. $$
Por lo tanto, tenemos $$ b \simeq e^{\theta \cdot x/2} - 4 / \sigma \cdot \varphi(\sigma/2), $$ donde he usado la definición de la función de Heaviside para cancelar uno de los dos términos con $h(\cdot)$.
¡Espero que esto ayude!
