(Mecanismo de diseño | Ejercicio 10.5.3 de Mailath) Una pregunta

Question

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¡Hola a todos! Agradecería un poco de ayuda con este problema, por favor.

Supongamos que un vendedor pone un bien de una unidad en el mercado, y un comprador llega con una valoración desconocida $$. Este comprador tiene una función de utilidad cuasi-lineal $q-p,$ y los costos son cuadráticos con $c(q) = \dfrac{1}{2}q^2.$

Ahora supongamos que $$ está uniformemente distribuido en $[0,1].$

Encuentra el mecanismo directo óptimo $(p(·),q(·)).$

Por el momento, entiendo que necesitaríamos maximizar los ingresos esperados del vendedor, aunque no estoy seguro de cómo abordar este problema. Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Sea el mecanismo $(q(\theta), p(\theta))$. Mostraremos que el mecanismo óptimo definirá un umbral $\theta^\ast$ tal que $q(\theta) = 1$ y $p(\theta) = \theta^\ast$ si y solo si $\theta \ge \theta^\ast$.

La restricción IC requerirá que para todo $\theta$ y $\theta' \in [0,1]$:

$$ \theta q(\theta) - p(\theta) \ge \theta q(\theta') - p(\theta'). \tag{IC} $$

La restricción PC (opción externa normalizada a $0$) nos dice que: $$ \theta q(\theta) - p(\theta) \ge 0. \tag{PC} $$

Ahora asumamos que el mecanismo especifica vender al tipo $\theta$, entonces $q(\theta) = 1$

Esto requiere que: $$ \theta - p(\theta) \ge 0 \to p(\theta) \le \theta. $$

Ahora, toma cualquier tipo $\theta' > \theta$. Entonces la restricción (IC) especifica que: $$ \theta' q(\theta') - p(\theta') \ge \theta' - p(\theta)\ge \theta' - \theta > 0. $$ Si $p(\theta') \ge 0$ esto requiere que $q(\theta') = 1$.

Luego, usando de nuevo la restricción (IC), tenemos: $$ \theta'- p(\theta') \ge \theta' - p(\theta), $$ lo que implica que $p(\theta') \le p(\theta)$.

Si $q(\theta) = 0$, entonces la restricción (PC) nos dice que $p(\theta) = 0$.

Sea $\theta^\ast$ el valor más bajo de $\theta$ para el cual $q(\theta) = 1$. Resumiendo, tenemos lo siguiente:

• Si $\theta \ge \theta^\ast$, entonces $q(\theta) = 1$ y $p(\theta) \le p(\theta^\ast)$.
• Si $\theta < \theta^\ast$ entonces $q(\theta) = 0$ y $p(\theta) = 0$.
• Para todo $\theta$ con $q(\theta) = 1$, $p(\theta) \le \theta$

Observa que, como la empresa intenta maximizar las ganancias, decidirá poner $p(\theta) = p(\theta^\ast) = \theta^\ast$ para todo $\theta \ge \theta^\ast$.

Esto implica la siguiente regla.

• Para todo $\theta \ge \theta^\ast$, establece $q(\theta) = 1$ y $p(\theta) = \theta^\ast$.
• Para todo $\theta < \theta^\ast$, establece $q(\theta) = 0$ y $p(\theta) = 0$.

Las ganancias entonces serán iguales a: $$ \theta^\ast (1 - \theta^\ast) - \frac{1}{2}(1- \theta^\ast)^2. $$ Aplicar las condiciones de primer orden nos da: $$ 1-2\theta^\ast + (1- \theta^\ast) = 2 - 3\theta^\ast = 0 $$ La condición de segundo orden es negativa, por lo que la función objetivo es cóncava. Esto nos da un valor de, $\theta^\ast = 2/3$.