Probando un modelo de fijación de precios de activos contra otro a la Cochrane: un contraejemplo

Question

Estoy leyendo la sección 14.6 de las notas de clase de John Cochrane para el curso Business 35150 Advanced Investments. En las páginas 239-240, él discute la prueba de un modelo de fijación de precios de un activo contra otro. Me cuesta seguir sus argumentos. Aquí está la esencia:

1. Ejemplo. FF3F. $$ E(R^{ei}) = \alpha_i + b_i\lambda_{rmrf} + h_i\lambda_{hml} + s_i\lambda_{smb} \tag{i) $$¿Realmente necesitamos el factor de tamaño? ¿O podemos escribir$$ E(R^{ei}) = \alpha_i + b_i\lambda_{rmrf} + h_i\lambda_{hml} \tag(ii) $$ ¿y hacerlo igual de bien? (¡$\alpha$ aumentará, pero ¿aumentarán "mucho"?)

2. Un error común: Medir $\lambda_{smb} = E(smb)$. Si $\lambda_{smb} = 0$ (y "pequeño") podemos descartarlo. ¿Por qué está mal? ¡Porque si eliminamos $smb$ de la regresión, $b_i$ y $h_i$ también cambian!

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4. Solución: (a) "Primero ejecuta una regresión de $smb_t$ en $rmrf_t$ y $hml_t$ y toma el residual, $$smb_t = \alpha_{smb} + b_s rmrf_t + h_s hml_t + \varepsilon_t \tag{iii}$$ Ahora, podemos eliminar $smb$ del modelo de tres factores si y solo si $\alpha_{smb}$ es cero. Intuitivamente, si los otros activos son suficientes para fijar el precio de $smb$, entonces son suficientes para fijar cualquier cosa que $smb$ fije.

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A continuación presento un contraejemplo que muestra que el enfoque propuesto falla. ¿Dónde está mi error?

Supongamos que en realidad se cumple el siguiente modelo de fijación de precios de activos de 2 factores: $$E(R^{ei}) = \beta_{1,i}E(X_1) + \beta_{2,i}E(X_2). \tag(iv)$$ Construye una variable $X_3$ tal que sea independiente del trío $(R^{ei},X_1,X_2)$ y deja $E(X_3)=\mu_3\neq 0$. Supongamos que no sabemos cuál es el modelo real y en lugar de $(\text{iv}) utilizamos (erróneamente)$$E(R^{ei}) = \tilde\beta_{1,i}E(X_1) + \tilde\beta_{2,i}E(X_2) + \tilde\beta_{3,i}E(X_3). \tag(v)$$Aplicamos el método de Cochrane para evaluar si podríamos prescindir de$X_3$. Es decir, regresamos$X_3$en$X_1$y$X_2$X_{3,t} = \delta_0 + \delta_1 X_{1,t} + \delta_2 X_{2,t} + v_t \tag(vi)$$y probamos$H_0\colon \delta_0=0$. Por la construcción de$X_3$, sabemos que$$X_{3,t} = \mu_3 + 0\times X_{1,t} + 0\times X_{2,t} + v_t, \tag(vi')$$y así$\delta_0=\mu_3\neq 0$. Si nuestra prueba tiene suficiente poder, se rechazará$H_0$. Por el argumento de Cochrane,$X_3$ pertenece en el modelo. Pero sabemos que esto es incorrecto.

Referencias

• Cochrane, J. H. (2014). Notas de Métodos Empíricos de la Semana 5. Business 35150 Advanced Investments, 225-247.

Answer 1

Ampliaré los comentarios debajo de la pregunta. Supongamos que se cumple el siguiente modelo de dos factores $$\mathbb E(R^{(i)}) = \beta_1^{(i)}\mathbb E(X_1) + \beta_2^{(i)}\mathbb E(X_2). \tag{iv}$$ Eso significa que el rendimiento esperado de cada activo negociable está completamente explicado por $X_1$ y $X_2$. Estos dos factores capturan toda la variación en los rendimientos esperados (riesgo sistemático).

Supongamos que miramos otro activo (portafolio) con rendimiento $X_3$. Según $(\text{iv}), sabemos que el rendimiento esperado necesita tener una estructura de dos factores y estar completamente explicado por los betas de$X_3$con respecto a$X_1$y$X_2$. En una ecuación, tenemos$$\mathbb E(X_3) = \beta_1^{(3)}\mathbb E(X_1) + \beta_2^{(3)}\mathbb E(X_2).$$A diferencia de la pregunta, no podemos asumir que la expectativa de$X_3 no está explicada por $X_1$ y $X_2$ porque eso violaría $(\text{iv}).

Si no sabemos si $(\text{iv}) es verdadero y usamos$X_1$,$X_2$y$X_3$como factores, obtenemos \begin{align} \mathbb E(R^{(i)}) &= \beta_1^{(i)}\mathbb E(X_1) + \beta_2^{(i)}\mathbb E(X_2) + \beta_3^{(i)}\mathbb E(X_3) \\ &= (\beta_1^{(i)}+\beta_3^{(i)}\beta_1^{(3)})\mathbb E(X_1) + (\beta_2^{(i)}+\beta_3^{(i)}\beta_2^{(3)})\mathbb E(X_2), \end{align} que nuevamente es un modelo de dos factores. Básicamente,$X_1$y$X_2$ abarcan todo el espacio ya y agregar una combinación lineal de ambos no ayuda (todo con respecto a expectativas).