Proceso de Wiener de muestra restringido a abierto (inicial), máximo (máx), mínimo (mín), cierre (final)

Question

Con un puente de Browniano, se puede muestrear un proceso de Wiener restringido a un valor inicial especificado y a un valor final.

¿Se puede hacer lo mismo cuando el proceso está restringido también a tener un valor máximo y mínimo especificado sobre el intervalo de tiempo?

Se podría seleccionar un subconjunto muy pequeño de muestras suficientes (simulaciones) que coincidan con los valores mínimo y máximo deseados (y el valor final). Pero ¿hay alguna forma de construir explícitamente tales muestras?

Answer 1

Puedes hacer esto (dentro de un pequeño $\epsilon$) usando el principio de reflexión.

Tomemos el caso más simple, donde solo deseas limitar el máximo. Agregar el mínimo es una generalización bastante simple.

Supongamos que deseas que tu máximo sea 1.0 (y tienes un BM estándar que comienza en cero y dura 1 unidad de tiempo).

Primero, construye trayectorias de muestra hasta que tengas una cuya variación total sea mayor que 1.0. Ahora tenemos dos casos:

1. El máximo en esta trayectoria de muestra es mayor que 1 en el tiempo $t$. En este caso, en el punto donde la trayectoria supera 1, simplemente refleja la trayectoria después de $t_1$ para que vuelva a bajar. Si la nueva trayectoria supera 1 en algún momento posterior $t_2>t_1$, refleja nuevamente.
2. El máximo en la trayectoria de muestra no supera 1. Aquí, elige un subintervalo en el que la trayectoria haya disminuido y cambia todos los signos en el subintervalo. Repite hasta que el máximo supere 1 y vuelve al caso anterior.

Esto solo se acerca dentro de un $\epsilon$ ya que tus tiempos de muestra de trayectoria (finitos) no identifican exactamente los cruces de 1.