Elasticidad precio de la demanda de CES

Question

¿Alguien le gustaría ayudarme a mostrar lo siguiente (o una referencia de libro/artículo sería de gran ayuda)?

"La elasticidad del precio de la demanda es igual a $\sigma$ para la función de demanda de preferencia CES, $d(p_i,I,P)=\dfrac{p_i^{-\sigma} I}{P^{1-\sigma}}$, donde $P=\left(\sum_{j=1}^N p_j^{1-\sigma}\right)^{\dfrac{1}{1-\sigma}}$ y $I=\sum_{j=1}^Np_jx_j$."

La fórmula para la elasticidad del precio de la demanda está dada por $\epsilon_i(p_i,I,P)=-\dfrac{\partial d(p_i,I,P)}{\partial p_i}\dfrac{p_i}{d(p_i,I,P)}$.

He intentado muchas veces pero no he podido obtener la respuesta deseada. Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Suponiendo que $p_i \neq p_j$ simplemente aplicas la fórmula;

$$\epsilon_i(p_i,I,P) =-\dfrac{\partial d(p_i,I,P)}{\partial p_i}\dfrac{p_i}{d(p_i,I,P)} \\ = -\left( \frac{-\sigma p_i^{-\sigma-1} I}{P^{1-\sigma}} \right)\frac{p_i}{\frac{p_i^{-\sigma} I}{P^{1-\sigma}}} =\sigma$$.

La manera en que planteaste el problema ni $P$ ni $I$ contienen $p_i$ por lo que se tratan como constantes durante la diferenciación.