Considera la función de utilidad $U(x_1,x_2) = x_1^{1/2}x_2^{1/3}$ y la restricción presupuestaria $p_1x_1+p_2x_2 = m$. Luego tengo que encontrar la función de demanda de Hicks.
Sé que para hacer esto tengo que resolver el siguiente problema de minimización del gasto $$ \min_{x_1,x_2} p_1x_1+p_2x_2 $$ sujeto a $$ x_1^{1/2}x_2^{1/3} = U $$ para algún nivel de utilidad $U$. Ya encontré las funciones de demanda de Marshallian que son $x_1^* = \frac{3m}{5p_1}$ y $x^* = \frac{2m}{5p_2}$.
Pensé que tal vez podríamos usar las conocidas funciones de demanda Cobb-Douglas pero no creo que podamos porque $1/2 + 1/3 = 5/6 \neq 1$.
Luego traté de usar Lagrange y obtuve que
Por Lagrange tenemos que $$ L = p_1x_1+p_2x_2 - \lambda \left( x_1^{1/2}x_2^{1/3}-U \right) $$ Así, las tres condiciones de primer orden serán \begin{align} \frac{\partial L}{\partial x_1}: p_1- \lambda \left( \frac{1}{2} x_1^{-1/2}x_2^{1/3} \right) \\ \frac{\partial L}{\partial x_2}: p_2 - \lambda \left( \frac{1}{3} x_1^{1/2}x_2^{-2/3} \right) \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda}: x_1^{1/2}x_2^{1/3} = U \end{align} Dividiendo la primera ecuación con la segunda ecuación se obtiene $$ \frac{3x_2}{2x_1} = \frac{p_1}{p_2} $$ Por lo tanto $$ x_1 = \frac{3p_2x_2}{2p_1} $$ Insertando esto en $U(x_1,x_2)$ tenemos que $$ \left(\frac{3p_2x_2}{2p_1} \right)^{1/2} x_2^{1/3} $$ lo que me da después de algunos cálculos que $$ x_1^* = \frac{3p_2}{2p_1} \left( \frac{U\sqrt{2}\sqrt{p_1}}{ \sqrt{3} \sqrt{p_2}} \right)^{6/5} $$ $$ x_2^* = \left( \frac{ U \sqrt{2} \sqrt{p_1}}{ \sqrt{3} \sqrt{p_2} } \right)^{1/(5/6)} $$ pero esto no parece correcto. ¿Hay una solución más fácil para este tipo de problema?
