Derive the Hicks demand function for $U(x_1,x_2) = x_1^{1/2}x_2^{1/3}$ Deriva la función de demanda de Hicks para $U(x_1,x_2) = x_1^{1/2}x_2^{1/3}$

Question

Considera la función de utilidad $U(x_1,x_2) = x_1^{1/2}x_2^{1/3}$ y la restricción presupuestaria $p_1x_1+p_2x_2 = m$. Luego tengo que encontrar la función de demanda de Hicks.

Sé que para hacer esto tengo que resolver el siguiente problema de minimización del gasto $$\min_{x_1,x_2} p_1x_1+p_2x_2$$ sujeto a $$x_1^{1/2}x_2^{1/3} = U$$ para algún nivel de utilidad $U$. Ya encontré las funciones de demanda de Marshallian que son $x_1^* = \frac{3m}{5p_1}$ y $x^* = \frac{2m}{5p_2}$.

Pensé que tal vez podríamos usar las conocidas funciones de demanda Cobb-Douglas pero no creo que podamos porque $1/2 + 1/3 = 5/6 \neq 1$.

Luego traté de usar Lagrange y obtuve que

Por Lagrange tenemos que $$L = p_1x_1+p_2x_2 - \lambda \left( x_1^{1/2}x_2^{1/3}-U \right)$$ Así, las tres condiciones de primer orden serán $$\begin{align} \frac{\partial L}{\partial x_1}: p_1- \lambda \left( \frac{1}{2} x_1^{-1/2}x_2^{1/3} \right) \\ \frac{\partial L}{\partial x_2}: p_2 - \lambda \left( \frac{1}{3} x_1^{1/2}x_2^{-2/3} \right) \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda}: x_1^{1/2}x_2^{1/3} = U \end{align}$$ Dividiendo la primera ecuación con la segunda ecuación se obtiene $$\frac{3x_2}{2x_1} = \frac{p_1}{p_2}$$ Por lo tanto $$x_1 = \frac{3p_2x_2}{2p_1}$$ Insertando esto en $U(x_1,x_2)$ tenemos que $$\left(\frac{3p_2x_2}{2p_1} \right)^{1/2} x_2^{1/3}$$ lo que me da después de algunos cálculos que $$x_1^* = \frac{3p_2}{2p_1} \left( \frac{U\sqrt{2}\sqrt{p_1}}{ \sqrt{3} \sqrt{p_2}} \right)^{6/5}$$ $$x_2^* = \left( \frac{ U \sqrt{2} \sqrt{p_1}}{ \sqrt{3} \sqrt{p_2} } \right)^{1/(5/6)}$$ pero esto no parece correcto. ¿Hay una solución más fácil para este tipo de problema?

Answer 1

Sea $f(U)=U^{6/5}$. Esta es una transformación monótona positiva de $U$ en $\mathbb{R}_0^+$. Entonces las preferencias representadas por $U$ también están representadas por $V(x_1,x_2):=f(U(x_1,x_2))=x_1^{3/5}x_2^{2/5}$. La función de utilidad $V$ tiene forma Cobb-Douglas y puedes usar la fórmula para la demanda Hicksiana de utilidades Cobb-Douglas: $$x_1^*=\left(\frac{3p_2}{2p_1}\right)^{2/5}V,\quad x_2^*=\left(\frac{2p_1}{3p_2}\right)^{3/5}V.$$ Sustituyendo por $V$ obtienes $$x_1^*=\left(\frac{3p_2}{2p_1}\right)^{2/5}U^{6/5},\quad x_2^*=\left(\frac{2p_1}{3p_2}\right)^{3/5}U^{6/5},$$ o $$x_1^*=\left[\left(\frac{3p_2}{2p_1}\right)U^3\right]^{2/5},\quad x_2^*=\left[\left(\frac{2p_1}{3p_2}\right)U^2\right]^{3/5}.$$