¿Cómo realizar la corrección de Shanken (1992) para el problema de errores en variables?

Question

Tengo dos preguntas relacionadas con la corrección de Shanken:

1. La fórmula de corrección de Shanken mostrada en el libro de Precios de Activos de Cochrane (2001) es la siguiente:

$$\sigma^2(\hat{\lambda}_{OLS})=1/T[(\beta^{'}\beta)^{-1}\beta^{'}\Sigma\beta(\beta^{'}\beta)^{-1}(1+\lambda^{'}\Sigma_{f}^{-1}\lambda)+\Sigma_{f}]$$

Creo que no entendí la fórmula correctamente, ya que creo que el término multiplicativo será un escalar, mientras que el término aditivo estará en forma de matriz dado que $\Sigma_{f}$ es la matriz de varianza-covarianza de factores. Entonces, ¿es imposible sumar un escalar y una matriz, verdad? Así que puede que lo haya entendido mal. He revisado algunos ejemplos de conferencias en línea, la mayoría de los cuales tratan sobre un solo factor (es decir, beta CAPM), por lo tanto, $\Sigma_{f}$ es simplemente la varianza de los rendimientos excedentes del mercado. Pero me pregunto cómo voy a calcular esta corrección si tengo múltiples factores (por ejemplo, el modelo de tres factores de Fama-French). ¿Necesito calcular la matriz de varianza-covarianza de todos los factores o simplemente emplear la varianza de un factor relevante en el cálculo del error estándar ajustado?

2. La fórmula indicada en Shanken (1992) también me pareció ligeramente diferente:

$$(1+c)[\hat{W}-\hat{\Sigma}_{F}]+\hat{\Sigma_{F}}$$

Me pregunto por qué esta fórmula tiene un término adicional, $\hat{\Sigma}_{F}$, que se resta de la matriz de covarianza de la muestra, $\hat{W}$, en comparación con la fórmula anterior.

Answer 1

Pregunta 1

Si hay $k=1$ factores (es decir, un solo factor):

1. $\beta$ es un vector (una matriz de una sola columna),
2. $(\beta^{'}\beta)^{-1}\beta^{'}\Sigma\beta(\beta^{'}\beta)^{-1}$ es un escalar,
3. $\lambda^{'}\Sigma_{f}^{-1}\lambda$ es un escalar y por lo tanto
4. $(\beta^{'}\beta)^{-1}\beta^{'}\Sigma\beta(\beta^{'}\beta)^{-1}(1+\lambda^{'}\Sigma_{f}^{-1}\lambda)$ es un escalar, coincidiendo
5. $\Sigma_{f}$ que es un escalar.

Si hay $k>1$ factores:

1. $\beta$ es una matriz de $k$ columnas,
2. $(\beta^{'}\beta)^{-1}\beta^{'}\Sigma\beta(\beta^{'}\beta)^{-1}$ es una matriz
3. $\lambda^{'}\Sigma_{f}^{-1}\lambda$ es un escalar y por lo tanto
4. $(\beta^{'}\beta)^{-1}\beta^{'}\Sigma\beta(\beta^{'}\beta)^{-1}(1+\lambda^{'}\Sigma_{f}^{-1}\lambda)$ es una matriz, coincidiendo
5. $\Sigma_{f}$ que es una matriz.

Las dimensiones parecen coincidir en ambos casos.

Pregunta 2

Ver el resumen de Shanken (1992) presentado de manera clara en esta respuesta en Cross Validated. Parece que el tratamiento de Cochrane (2005) omite algunos detalles, y la ecuación que das no es considerada explícitamente por Cochrane.