¿Cómo resolver un problema de equilibrio general con preferencias lexicográficas?

Question

No he podido encontrar un buen ejemplo de este tipo de problema de GE en nuestros libros de texto, y nuestro profesor ha indicado que algo así podría aparecer en nuestro examen. Entonces, aquí hay una construcción hipotética:

Deje que el Consumidor A tenga preferencias lexicográficas, por ejemplo, suponga $X=\rm I\!R_+^2$ y que $x \succeq y$ si y solo si o bien $x_1>y_1$ o $x_1=y_1$ y $x_2>y_2$.

Deje que el Consumidor B tenga preferencias cuasilineales: $u(x_1,x_2)=x_1+\varphi(x_2)$, donde $\varphi$(•) es invertible, no decreciente en $x_1$ y $x_2$, y diferenciable continuamente.

Cada consumidor está dotado de paquetes $\omega^i=\omega_1^i+\omega_2^i$, $i\in\{A,B\}$.

Dada esta información, ¿cómo se resolverían las siguientes preguntas?

(a) Resolver el problema de maximización de la utilidad de cada consumidor en términos de un vector de precios de equilibrio de mercado $\textbf{p}$, normalizado de manera que $p_1=p$ y $p_2=1$.

(b) ¿Se cumplen los teoremas del bienestar primero y segundo? ¿Se cumple la ley de Walras?

(c) ¿Existe un equilibrio competitivo? En caso afirmativo, encuentre todos los equilibrios.

(d) Encuentre y caracterice la curva de contrato y el núcleo del equilibrio walrasiano.

He intentado dejar las cosas lo más generales posibles, pero si es útil reemplazar números y funciones específicas, siéntase libre de hacerlo. Y si algo está poco especificado, por favor avíseme y trataré de elaborar.

Answer 1

Permítanme responder a esta pregunta para la siguiente economía de intercambio:

El consumidor $A$ tiene preferencias lexicográficas. La relación de preferencia lexicográfica $\succsim$ en $\mathbb{R}^2_+$ se define de la siguiente manera:

para cualquier $(x_1,y_1), (x_2,y_2) \in \mathbb{R}^2_+$, $(x_1,y_1)\succsim (x_2,y_2)$ si y solo si  ya sea $x_1 > x_2$ o $(x_1 = x_2 \text{ y } y_1\geq y_2)$

Supongamos que las preferencias del consumidor $B$ están representadas por una función de utilidad cuasi-lineal $u_B(x_B,y_B)=x_B+2\sqrt{y_B}$

Sea $\omega_X > 0$ y $\omega_Y > 0$ los endowments totales de los bienes X y Y respectivamente. El conjunto de asignaciones factibles es $\mathcal{F}=\{((x_A, y_A), (x_B, y_B))\in\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+|x_A+x_B=\omega_X \ \wedge \ y_A+y_B=\omega_Y\}$

P. ¿Cuál es el conjunto de asignaciones eficientes de Pareto?

Cualquier asignación factible $((x_A, y_A), (x_B, y_B))$ que cumpla con $y_A>0$ y $x_B >0$ no es eficiente de Pareto. Esto se debe a que podemos encontrar un $\epsilon > 0$ lo suficientemente pequeño tal que $((x_A+\epsilon, 0), (x_B-\epsilon, \omega_Y))$ es factible y Pareto superior a $((x_A, y_A), (x_B, y_B))$. Por lo tanto, nos queda el siguiente subconjunto de asignaciones factibles:

$\{((x_A, y_A), (x_B, y_B)) | y_A = 0 \ \text{o} \ x_B = 0 \}$

Verificar que todas estas asignaciones son eficientes de Pareto.

P. ¿Cuál es el equilibrio competitivo?

El equilibrio competitivo puede existir o no dependiendo de nuestra elección de la asignación de endowments. Por ejemplo, si la asignación de endowments es que $A$ tiene todo X es decir $(\omega_X,0)$ y $B$ tiene todo Y es decir $(0,\omega_Y)$ entonces cualquier $(p_X, p_Y=1)$ que cumpla $\sqrt{\omega_Y}\leq p_X$ apoyará a $((\omega_X,0),(0,\omega_Y))$ en el equilibrio.

P. ¿Se cumple el primer teorema del bienestar?

Sí, se cumple porque las preferencias de ambos individuos son monótonas.

P. ¿Se cumple el segundo teorema del bienestar?

No, porque consideremos una asignación eficiente donde $A$ consume todo X y una cantidad positiva de $Y$ es decir, una asignación $((\omega_X, \theta\omega_Y), (0, (1-\theta)\omega_Y))$ para algún $\theta\in (0,1]$. Esta asignación es eficiente de Pareto pero no puede ser respaldada como una asignación de equilibrio competitivo sin importar cómo redistribuyamos el endowment.