¿Cómo demostrar que los criterios de retorno para agregar una inversión A a una cartera existente pueden representarse usando el enfoque de la Razón de Sharpe?

Question

¿Cómo puedo demostrar que los criterios de retorno para agregar una inversión A a una cartera existente pueden representarse como la siguiente desigualdad utilizando el enfoque del Índice de Sharpe para retornos ajustados al riesgo, tal como se aplica en la toma de decisiones de cartera?

Answer 1

Denote la antigua razón de Sharpe por $SR_p^{old}$, y la nueva por $SR_p^{new}$. Compre el nuevo activo (es decir, vaya de lo antiguo a lo nuevo) si y solo si $SR_p^{new} \ge SR_p^{old}$. Deje que $R_p^{old}$ sea el rendimiento de la cartera antigua y tenga en cuenta que el rendimiento del punto de referencia de efectivo es cero. Por lo tanto, el rendimiento diferencial, $d^{old}$, es simplemente $R^{old}$ y la desviación estándar es $\sigma_{d^{old}}$. La relación de $d^{old}$ con $\sigma_{d^{old}}$ nos da nuestra razón de Sharpe existente (antiguo).

Suponga que la nueva cartera prospectiva consiste en el nuevo activo $A$ y la cartera existente, en proporciones relativas $a$ y $1-a$. El rendimiento esperado de la nueva cartera es $R_p^{new} = aR_A + (1 - a)R_p^{old}$, que también es el diferencial esperado para la nueva cartera, $d^{new}$.

Deberíamos hacer la inversión si $$ SR^{new}=d^{new}/\sigma_{R_p^{new}} \ge d^{old}/\sigma_{R_p^{old}}$$

Lo cual, al ser sustituido y reorganizado, se convierte en $$ R_A \ge R_p^{old} + [\sigma_{R_p^{new}} / \sigma_{R_p^{old}} - 1]R_p^{old}/a $$

Esta respuesta se encuentra en la página 146, Capítulo 7, de Dowd, K. (1998). Beyond value at risk: The New Science of Risk Management. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons Inc