Buscando una función de utilidad universal

Question

Estoy tratando de construir una simulación informática de una economía que tenga una simulación separada para cada hogar y estoy tratando de averiguar qué función de utilidad debo usar para modelar el comportamiento de los hogares. Quiero modelar los bienes como cayendo en categorías (por ejemplo, una categoría de alimentos que consiste en verduras y frutas)

Mis criterios para una función de utilidad ideal (en orden de importancia):

1. Causar que el consumo total de bienes en ciertos grupos "básicos" sea distinto de cero (aquí, Cobb-Douglas es suficiente: $U=ln(comida)+ln(ropa)$)
2. Alentar la diversidad dentro del grupo (por ejemplo, $U=ln(\sqrt{frutas}+\sqrt{verduras})+ln(ropa)$)
3. Permitir que el consumo en ciertos grupos sea cero (por ejemplo, $U=ln(\sqrt{frutas}+\sqrt{verduras})+ln(ropa)+\sqrt{turismo}$)
4. Tener una solución de optimización en forma cerrada (legible y conveniente) para la restricción presupuestaria $\sum{precio_i*bien_i=presupuesto}$
5. Permitir que ciertos bienes o categorías de bienes sean complementarios (honestamente no tengo idea de cómo incorporar esto)

Entiendo que no es posible una respuesta objetiva aquí, pero me gustaría aprender si hay algunas funciones de utilidad que cumplan con algunos de los criterios anteriores y/o aprender qué funciones de utilidad universales multi-bienes se utilizan en la práctica (solo me enseñaron funciones de utilidad específicas de tareas de dos bienes en la universidad).

Answer 1

Aquí hay un ejemplo donde los $x_i$ son necesidades y siempre se consumirán en cantidades positivas y $y$ y $z$ se consumirán en cantidad positiva solo cuando el ingreso del individuo esté por encima de cierto umbral.

Problema. Supongamos que la función de utilidad es $\displaystyle u(x_1,\ldots,x_L, y,z) =\left(\sum_{i=1}^{L}\alpha_i\ln x_i\right)+y^\beta z^{1-\beta}$, donde $\displaystyle\sum_{i=1}^{L}\alpha_i = 1$ y $\alpha_i > 0$ para todo $i\in\{1,2,\ldots,L\}$, y $\beta\in (0,1)$. ¿Cuál es la solución a este problema del consumidor?

$\displaystyle\max_{x_1,x_2,\ldots,x_L,y,z} \ \left(\sum_{i=1}^{L}\alpha_i\ln x_i\right)+y^\beta z^{1-\beta}$ $\displaystyle\text{s.t.} \ \sum_{i=1}^{L}p_ix_i+(p_Yy+p_Zz)\leq M$ $\text{y } x_1> 0, \ x_2> 0, \ldots, x_L> 0, y\geq 0, z\geq 0$ donde $L \in\mathbb{N}$, $p_1>0$, $p_2>0,\ldots, p_L>0$, $p_Y>0$, $p_Z>0$ y $M> 0$

Solución. Al resolver este problema obtenemos la demanda de $x_i$ como: $\displaystyle x_i^d(p_1,p_2,\ldots,p_L,p_Y,p_Z,M) = \begin{cases} \dfrac{\alpha_iM}{p_i} & \text{si } \displaystyle M\leq \dfrac{p_Y^\beta p_Z^{1-\beta}}{\beta^\beta (1-\beta)^{1-\beta}} \\ \dfrac{\alpha_ip_Y^\beta p_Z^{1-\beta}}{p_i\beta^\beta (1-\beta)^{1-\beta}} & \text{si } \displaystyle M> \dfrac{p_Y^\beta p_Z^{1-\beta}}{\beta^\beta (1-\beta)^{1-\beta}} \end{cases}$ y la demanda de $y$ y $z$ como: $\displaystyle y^d(p_1,p_2,\ldots,p_L,p_Y,p_Z,M) = \begin{cases} 0 & \text{si } \displaystyle M \leq \dfrac{p_Y^\beta p_Z^{1-\beta}}{\beta^\beta (1-\beta)^{1-\beta}} \\ \dfrac{\beta}{p_Y}\left(M - \dfrac{p_Y^\beta p_Z^{1-\beta}}{\beta^\beta (1-\beta)^{1-\beta}}\right) & \text{si } \displaystyle M > \dfrac{p_Y^\beta p_Z^{1-\beta}}{\beta^\beta (1-\beta)^{1-\beta}} \end{cases}$ $\displaystyle z^d(p_1,p_2,\ldots,p_L,p_Y,p_Z,M) = \begin{cases} 0 & \text{si } \displaystyle M \leq \dfrac{p_Y^\beta p_Z^{1-\beta}}{\beta^\beta (1-\beta)^{1-\beta}} \\ \left(\dfrac{1-\beta}{p_Z}\right)\left(M - \dfrac{p_Y^\beta p_Z^{1-\beta}}{\beta^\beta (1-\beta)^{1-\beta}}\right) & \text{si } \displaystyle M > \dfrac{p_Y^\beta p_Z^{1-\beta}}{\beta^\beta (1-\beta)^{1-\beta}} \end{cases}$ respectivamente.

Hay más ejemplos disponibles en este foro: https://forum.econschool.in/t/examples-of-utility-maximisation-problems-involving-more-than-three-goods/46