Supongamos que estamos tratando con una función de producción $q = f(k,l)$, de los insumos capital y trabajo. Si esta función presenta rendimientos constantes a escala, entonces sé que tanto las funciones de costo marginal como de costo promedio $C(q)$ son iguales y constantes para cada uno de los insumos y el total. es decir: $$\frac{\partial C(q)}{\partial q} = \frac{C(q)}{q}$$Esto significa que la demanda contingente de trabajo y capital debe ser lineal en $q$. ¿Por qué es este el caso matemáticamente y cuál es la interpretación económica?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Alexandros B
Puntos
131
Los rendimientos constantes a escala (CRS) significan que para cualquier número real positivo $a$ $$ f(a \cdot k,a \cdot l) = a \cdot f(k,l). $$ Supongamos que la industria quiere producir una unidad de producción. Entonces se enfrentan al problema de minimización del costo unitario $$ \min_{k,l} \ r \cdot k + w \cdot l $$ sujeto a $$ 1 = f(k,l). $$ Supongamos que este problema es resuelto por un par $(k^*,l^*)$. Si consideramos el problema general de minimización de costos $$ \min_{k,l} \ r \cdot k + w \cdot l $$ sujeto a $$ q = f(k,l), $$ el par $(q \cdot k^*,q \cdot l^*)$ tiene que ser una solución óptima debido a los rendimientos constantes a escala.
Prueba.
El par $(k^*,l^*)$ fue óptimo para el problema de minimización del costo unitario, por lo tanto, para todos los pares $(k',l')$ donde $1 = f(k', l')$, tenemos $$ r \cdot k^* + w \cdot l^* \leq r \cdot k' + w \cdot l'. $$ Ahora pasemos al problema general de minimización de costos donde la restricción es $$ q = f(k,l). $$ Para cualquier par factible $(\hat{k},\hat{l})$, definimos $$ k' = \frac{\hat{k}}{q} \\ l' = \frac{\hat{l}}{q}. $$ Debido a los rendimientos constantes a escala, este nuevo par $(k',l')$ produce exactamente una unidad de producción, por lo tanto sabemos que $$ r \cdot k^* + w \cdot l^* \leq r \cdot k' + w \cdot l'. $$ se cumple. Multiplicando esto por $q$ tenemos $$ r \cdot q \cdot k^* + w \cdot q \cdot l^* \leq r \cdot q \cdot k' + w \cdot q \cdot l' = r \cdot \hat{k} + w \cdot \hat{l}. $$ Nuevamente debido a los rendimientos constantes a escala, el par $(q \cdot k^*,q \cdot l^*)$ resulta en $q$ unidades de producción. Por lo tanto hemos visto que $(q \cdot k^*,q \cdot l^*) es una solución factible que no cuesta más que cualquier otro par $(\hat{k},\hat{l})$, haciendo que $(q \cdot k^*,q \cdot l^*) sea una solución óptima al problema general de minimización de costos. QED
La solución al problema de minimización de costos muestra la cantidad demandada/utilizada de capital y trabajo, por lo tanto, estos son efectivamente lineales en $q$.
