La relación de preferencia estricta implica la relación de preferencia débil

Question

Condición A:

Dado x, y en X tal que $yRx$ entonces se sigue que

$\lambda y +(1-\lambda)xRx$ para todo $0< \lambda<1$

Condición B:

Dado x, y en X tal que $yPx$ entonces se sigue que

$\lambda y +(1-\lambda)xPx$ para todo $0< \lambda<1$

Demuestra que la condición B implica la condición A.

R se refiere a una relación de preferencia débil y P es una relación de preferencia estricta.

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No entiendo cómo demostrar esta implicación.

¿Qué piensas? ¿Cómo puedo demostrar esto? Estoy muy confundido.

Esta pregunta está duplicada. También la pregunté en el sitio web de math-stack exchange. Pero allí no pude obtener ninguna respuesta adecuada. ¿Qué piensas de mi pregunta? Gracias.

Answer 1

La condición B no implica la condición A. Considere un ejemplo de la relación de preferencia definida en $\mathbb{R}$ que está representada por la siguiente función de utilidad: \begin{eqnarray*} u(x)= \begin{cases} 0 &\text{si } x = 0 \\ 1 & \text{si } x \neq 0\end{cases}\end{eqnarray*} La relación de preferencia $R$ representada por $u$ satisface la condición B pero no la condición A.

Answer 2

Por definición $y \succ x$ significa que $y \succeq x$ pero no que $x \succeq y$

Así que si $y \succ x$, entonces $y \succeq x$, que es la primera parte de las dos condiciones. Si $y \succ x$ implica (por alguna razón aleatoria) que para cualquier $\lambda \in (0,1)$, se tiene que $ \lambda y + (1-\lambda)x \succ x$, entonces, por definición de $\succ$, se tiene que $\lambda y + (1-\lambda)x \succeq x $ pero no que $x \succeq \lambda y + (1-\lambda)x$. Lee la prueba de nuevo: Acabo de mostrar que cada vez que la condición B es verdadera, por lo tanto cada vez que $y \succ x$ y, por alguna razón aleatoria, para cualquier $\lambda \in (0,1)$, $ \lambda y + (1-\lambda)x \succ x$, entonces la condición A también es verdadera.

Observa que: 1) el problema no establece que $\succeq$ sea racional (una condición necesaria pero no suficiente para que $\succeq$ sea representada por una función de utilidad), 2) el problema no establece que $\succeq$ pueda ser representada por una función de utilidad.