¿Cómo resolver un problema dinámico con 2 funciones de producción?

Question

Supongamos que tenemos el siguiente problema:

$\max \int_0^\infty \exp(-\rho t) u(c(t))dt$

donde $c(t)$ es el consumo en el tiempo $t$. Sujeto a:

$\dot{k}(t)= f(k(t))- c(t) - \delta k(t)$.

donde $k$ es el capital, $f(.)$ la función de producción y $\delta$ la depreciación.

Este problema no es difícil de resolver. Sin embargo, supongamos que ahora añadimos un giro. Supongamos que el agente puede elegir entre dos funciones de producción:

$f_A(k(t))>f_B(k(t))$

pero si el agente elige $f_A(k(t))$ hay una desventaja de que la depreciación es mayor $\delta_A >\delta_B$.

No estoy seguro de cómo resolver este problema. Mi idea era la siguiente:

1. Estableceré dos problemas de optimización separados; problema A donde solo uso parámetros para la función de producción A y problema B donde solo uso la función de producción B,
2. Calcular los óptimos $c_A$ y $c_B$ y las utilidades correspondientes,
3. Comparar $U(c_A)$ con $U(c_B)$.

Mi razonamiento es que si la persona tiene la opción entre dos tecnologías de producción simplemente elegiría la que le da mayor utilidad. ¿Es este razonamiento válido?

Sin embargo, ¿qué pasa si la persona puede cambiar de una a otra? ¿Todavía podemos aplicar esta receta (si es que mi receta es válida)?

Answer 1

Tu razonamiento es válido, aunque no estoy seguro de que puedas hacerlo eficientemente con tiempo continuo...

Usando tiempo discreto para expresar la misma idea (con tiempo continuo, no, no sé cómo hacer esto, ya que luego necesitas linearizar las ecuaciones de Euler, pero una aproximación lineal no es una buena idea si necesitas comparar de ida y vuelta las funciones de valor), algo como:

$W(k) = \max \{V_a(k), V_b(k)\} + \beta W(k')$

Donde

$V_i(k) = \max_{0\leq k'\leq z_i k^{\alpha} + (1-\delta_i)k} \{U(z_i k^{\alpha} + (1-\delta_i) k - k') \} + \beta V_i(k')$

Y $z_a > z_b$, $\delta_a > \delta_b$

La variable de control (es decir, la variable de elección, lo que optimizas) del problema anterior es $k'$.

Así que, aquí he elegido la productividad como una constante fija, pero obviamente puedes hacer esto mucho más complicado y realista...