¿Cómo probar que una función es una transformación monótona positiva?

Question

Considera la función de utilidad

$$ U(x_1,x_2) = x_1^\alpha x_2^\beta $$ para $0 < \alpha, \beta < 1$. ¿Cómo puedo mostrar entonces que $$ V(x_1,x_2) = F(U(x_1,x_2)) = \frac{\alpha}{\beta} \ln(x_1) + \ln(x_2) $$ es una transformación positiva y monótona de $U(x_1,x_2)$. Pensé en mostrar que la MRS para ambas funciones es la misma. ¿Es correcto este enfoque? También pensé en tomar $\ln(x)$ en $U(x_1,x_2)$ y ver qué sucede:

$$\ln(x_1^\alpha x_2^\beta) = a \ln(x_1) + \beta \ln(x_2)$$ pero no estoy seguro si puedo dividir ahora por $\frac{1}{\beta}$ para obtener el resultado deseado?

Gracias por tu ayuda de antemano.

Answer 1

Otras personas ya han insinuado la respuesta correcta. Aquí hay una justificación completa:

Note que $V(x,y) = g(U(x,y))$ donde $g$ es la función definida por $$g(u) = \dfrac{1}{\beta} \cdot \log(u).$$ Suponiendo que solo se permiten niveles positivos de consumo (de lo contrario $V$ no está bien definida), $g$ es continuamente diferenciable en la imagen de $U$ y satisface $$ g'(u) = \dfrac{1}{\beta u} > 0 $$ Por lo tanto, $g$ es una transformación monótona. $\blacksquare$

Answer 2

Toma la primera derivada; si esta es siempre positiva para todos los valores positivos de tu variable, entonces la transformación es monótona positiva (es decir, mantiene el orden)

Dado que tienes dos variables, necesitas verificar cómo la transformación afecta a ambas mediante la verificación de dos primeras derivadas.

Edición: si asumes que la función U es siempre positiva, solo necesitas verificar la primera derivada de la transformación con respecto a U