Función de pérdida del banco central (Hice una solución, pero creo que no tiene mucho sentido)

Question

Tengo una pregunta sobre la función de pérdida del banco central.

Sabemos que la función de pérdida del banco central es

$$L(\pi, \bar{Y})= (\pi- \pi^e)^2+\beta \bar {Y}^2$$

Y sabemos que la ecuación de Fisher es $$i=r+\pi^e$$

donde $r$ e $i$ son respectivamente la tasa de interés real y nominal.

Quiero minimizar la función de pérdida del BC eligiendo $i$

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Intenté resolverlo. Pero es sin sentido y está completamente mal:(

Cuando busqué en Internet, siempre vi que la función de pérdida del BC se minimiza sustituyendo la curva de Phillips y derivando con respecto a $Y$.

Entonces, sustituí la ecuación de Fisher en la curva de Phillips es decir $\pi=a \bar{Y} +\pi^e= a \bar{Y}+i-r$

Y luego sustituí esta ecuación en la función de pérdida es decir $L(\pi, \bar{Y})= (a\bar{Y}+i-r- \pi^e)^2+\beta \bar {Y}^2$

Y tomé su derivada con respecto a $i$

Obtuve $2(a\bar{Y}+i-r-\pi^e)=0$

$i^*=\pi^e-a\bar{Y}+r$

Pero creo que mi forma de hacerlo está equivocada. Porque este resultado no tiene sentido.

Por favor, déjenme mostrarles una forma de resolverlo. Cualquier ayuda sería apreciada.

Muchas gracias.

Answer 1

Necesitas diferenciar con respecto a Y, como dijiste! Sustituyes la curva de Phillips como hiciste (porque es una restricción para el problema de optimización del banco central), luego diferencias con respecto a $\bar{Y}$ (que asumo aquí representa la brecha) y estableces esto en 0 para obtener la condición de optimalidad, que a su vez te dará la regla monetaria. Recuerda que una vez que se determina la combinación óptima de producción-inflación usando la regla monetaria, el banco central establece la tasa de interés para implementar su elección.