En esta derivación de la ecuación de Black Scholes, ¿alguien puede explicar el último paso donde el autor usa la regla del producto de Ito? No entiendo de dónde proviene el término "rC".
Respuesta
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En general, la regla del producto de Itô es $$\text d(XY)=X\text dY+Y\text dX+\text dX\text dY.$$
En tu ejemplo, tenemos $X=\frac1B$ y $Y=C$ tal que $$\text d\left(\frac{C}B\right) = \frac1B\text dC+C\text d\left(\frac1B\right) + \text d\left(\frac1B\right)\text dC.$$
Porque $\text dB= rB\text dt$ y $\text d(1/x) = -1/x^2\text dx$, tenemos $\text d\left(\frac1B\right)=-\frac1{B^2} \text dB=-\frac{r}B\text dt$. Así, $$\text d\left(\frac{C}B\right) = \frac1B\text dC-\frac{rC}{B}\text{d}t.$$
Como es estándar, $$\text{d}C = \left(C_t+rSC_S+\frac{1}{2}\sigma^2S^2C_{SS}\right)\text{d}t+\sigma SC_S\text{d}W.$$
Juntando todo se obtiene el resultado deseado, es decir $$\text{d}C = \frac{1}{B}\left(C_t+rSC_S+\frac{1}{2}\sigma^2S^2C_{SS}-rC\right)\text{d}t+\sigma \frac{S}{B}C_S\text{d}W.$$
