Modelo de Solow de manera directa y continua

Question

¿Cuál es la diferencia entre el modelo de Solow en tiempo discreto y en tiempo continuo? ¿Por qué en tiempo discreto se utiliza la ecuación: k(t+1)=(1-δ)k(t) + sf(k(t)) y en tiempo continuo se utiliza: dy/dt = s*f(k) - k? ¿Son diferentes? (Creo que no lo son)

Answer 1

La ley de movimiento discreto en el tiempo se da por $k(t+1) = (1-\delta)k(t) + s f(k(t))$ Esto se puede reescribir como: $$ (k(t+1)-k(t)) = s f(k(t)) - \delta k(t). $$ Ahora, tomemos una expansión de Taylor de orden 1 de $k(t+1)$ alrededor de $t$. $$ k(t+1) \approx k(t) + \frac{\partial k}{\partial t}(t),\\ \to k(t+1) - k(t) \approx \frac{\partial k}{\partial t}(t). $$ Esto da como resultado: $$ \frac{\partial k}{\partial t}(t) = sf(k(t)) - \delta k(t) $$

Así que básicamente estamos intercambiando la diferencia discreta $\Delta k(t) = k(t+1) - k(t)$ por su aproximación continua $\dfrac{\partial k}{\partial t}(t)$.