Problema de pregunta de subasta de todo-pago

Question

En una subasta de todos pagan en una oferta sellada, el postor de mayor puja recibe el bien pero todos los compradores pagan al vendedor la cantidad de su puja independientemente de si ganan o no. Supongamos que hay dos postores cuyas valoraciones se extraen de forma independiente de una distribución uniforme en [0, 1]. a) Encuentre una estrategia de puja de equilibrio (sin usar el principio de equivalencia de ingresos). b) Calcule los ingresos esperados de esta subasta.

Inicialmente, mi primer pensamiento es que la utilidad esperada de esta subasta es: $F(x)(v-b(x))+(1-F(x))(-b(x))$, donde $b(x)$ es mi puja, $v$ es la valoración, y $F(x)=x$.

Luego, tomaría las condiciones de primer orden y resolvería para $b(x)$. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Para el juego de subasta de todos pagan de Bayesiano anterior donde las valoraciones son información privada, sea $b:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}_+$ la estrategia de equilibrio simétrica que es estrictamente creciente y diferenciable y es jugada por los dos jugadores. Para encontrar esta estrategia, considera una realización arbitraria $v_1$ de la valoración del jugador $1$. Dado que el jugador $2$ está jugando de acuerdo con la estrategia $b:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}_+$, la ganancia esperada del jugador $1$ al ofertar $b_1$ es la siguiente:

\begin{eqnarray*} v_1\Pr(V_2\in\{v\in [0,1]|b(v)

donde $V_2$ es la valoración del jugador 2 y es una variable aleatoria Unif(0,1).

Para elegir el $b_1$ que maximice la expresión anterior, lo diferenciamos con respecto a $b_1$ y obtenemos la FOC como: $\frac{v_1}{b'(b^{-1}(b_1))}-1=0$

Usando el hecho de que $b:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}_+$ es la estrategia de equilibrio simétrica, sabemos que $b_1=b(v_1)$. Sustituyéndolo en la expresión anterior, lo siguiente es cierto acerca de la estrategia de equilibrio $b:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}_+$:

$\frac{v_1}{b'(b^{-1}(b(v_1)))}-1=0$

lo que da

$\frac{v_1}{b'(v_1)}-1=0$

es decir $b'(v_1)=v_1$

También hay que tener en cuenta que $b(0)=0$ debe cumplirse.

Esto da la estrategia de equilibrio $b(v_1)=\frac{v_1^2}{2}$.

Por lo tanto, los dos jugadores utilizan la estrategia de equilibrio: $b_i(v_i)=b(v_i)=\frac{v_i^2}{2}$ para $i\in\{1,2\}$.

Los ingresos esperados de esta subasta son $2\displaystyle\int_0^1\frac{v^2}{2}dv=\frac{1}{3}$

Answer 2

Para complementar la respuesta de Amit, podemos obtener la misma respuesta utilizando el truco de Myerson. Este truco está "a medio camino" entre la respuesta de Amit y el uso del Teorema de Equivalencia de Ingresos.

Primero, consideremos la subasta de todos pagan en un marco de diseño de mecanismos. Un mecanismo general es un conjunto de reglas de transferencia y asignación $(x_i,t_i)_{i=1}^2$ tal que la asignación $[0,1]^2\owns (v_i,v_{-i})\mapsto x_i(v_i,v_{-i})\in[0,1]$ da la probabilidad de que el agente $i$ obtenga el bien y la transferencia $[0,1]^2\owns (v_i,v_{-i})\mapsto t_i(v_i,v_{-i})\in \mathbb{R}$ da la transferencia al agente $i$ si los dos agentes anuncian sus tipos como $(v_i,v_{-i})$. Implícitamente, esta descripción de los mecanismos ha aplicado el principio de revelación para restringir la atención a los mecanismos directos.

Myerson (1981) demostró que cualquier mecanismo directo compatible con incentivos e individualmente racional satisface la siguiente igualdad $$\Pi_i(v_i)=\Pi_i(0)+\int_0^{v_i}P_i(x)dx \qquad \qquad (\dagger)$$ donde $\Pi_i:[0,1]\to\mathbb{R}$ es la función de payoff interino para el agente $i$ reportando un cierto tipo, y $P_i:[0,1]\to [0,1]$ mapea del reporte de tipo del agente $i$ a la probabilidad interina de que el agente $i$ reciba el bien. Formalmente, $P_i(v_i)=\mathbb{E}_{v_{-i}}[x_i(v_i,v_{-i})]$ y $\Pi_i(v_i)=v_iP_i(v_i)-\mathbb{E}_{v_{-i}}[t_i(v_i,v_{-i})]$.

Consideremos ahora el caso del mecanismo de subasta de todos pagan $(\hat{x}_i,\hat{t}_i)_{i=1}^2$. Suponiendo una estrategia de oferta simétrica, estrictamente creciente y de equilibrio $b_i(v_i):[0,1]\to \mathbb{R}_+$, los mecanismos de asignación y transferencia son $$\begin{align*} \hat{x}(v_i,v_{-i})&=\begin{cases} 1 & \text{ si } v_i>v_{-i} \\ 0 & \text{ si } v_i Usando estos, podemos calcular $$\begin{align*} \Pi_i(v_i) &= \int_0^{v_i}v_i-b(v_i)dv_{-i}-\int_{v_i}^1 b(v_i)dv_{-i}=v_i^2-b(v_i) \\ P_i(x)&=\mathbb{P}(v_{-i} Además, dado que hemos supuesto una estrategia de oferta estrictamente creciente, el tipo $v=0$ no obtiene el bien con probabilidad $1$. Por lo tanto, la estrategia dominante para el tipo $v=0$ es ofertar $0$, de modo que $\Pi_i(0)=0$. Por lo tanto, al insertar estas expresiones en $(\dagger)$, encontramos $$\begin{align*} \Pi_i(v_i)&=\Pi_i(0)+\int_0^{v_i}P_i(x)dx \\ v_i^2-b(v_i) &= \int_0^{v_i}xdx \\ v_i^2-b(v_i) &= \frac{1}{2}v_i^2 \\ b(v_i) &= \frac{1}{2}v_i^2\end{align*}$$ que es el mismo resultado que la respuesta de Amit.

La razón por la que este enfoque está "a medio camino" entre el enfoque de Amit y el Teorema de Equivalencia de Ingresos es que $(\dagger)$ es la ecuación clave para derivar el Teorema de Equivalencia de Ingresos. A partir de $(\dagger)$, podemos concluir que $\mathbb{E}_{v_{-i}}[t_i(v_i,v_{-i})]=\Pi_i(0)-v_iP_i(v_i)+\int_0^{v_i}P_i(x)dx$, de lo cual inferimos que si $\Pi_i(0)$ y $P_i(\cdot)$ son iguales en dos mecanismos, las transferencias esperadas (y por lo tanto también los ingresos esperados) son iguales en los dos mecanismos. Entonces, en cierto sentido, el enfoque en esta respuesta está a solo un paso de utilizar directamente el Teorema de Equivalencia de Ingresos.