Costos Marginales y Costos Promedio en el Modelo de Crecimiento Endógeno de Romer

Question

En la página 124 del libro Macroeconomía Avanzada de David Romer (5ª edición), menciona que para el modelo de Romer,

Debido a que las empresas que producen el producto final enfrentan costos constantes para cada insumo y la función de producción exhibe rendimientos constantes, el costo marginal es igual al costo promedio. Como resultado, estas empresas obtienen cero beneficios.

Me resulta difícil probar matemáticamente este resultado.

La función de producción de Ethier es $Y=\left[\int_{i=0}^{A}L(i)^{\phi}di\right]^{\frac{1}{\phi}}$, donde $0<\phi<1$ y $L(i)$ es la cantidad de trabajo dedicada a producir el insumo $i$ y la cantidad de insumo $i$ que se utiliza en la producción de bienes finales. Sea $L_{Y}$ el total de trabajadores que producen insumos y asumamos que la cantidad que produce cada insumo disponible es la misma. Entonces, $L(i)=\frac{L_Y}{A}$ para todos los $i$. También asumimos que el titular de la patente es un monopolista que contrata trabajadores en un mercado laboral competitivo para producir el insumo y luego venderlo a los productores del producto final, donde el monopolista cobra un precio constante por cada unidad del producto. Las empresas competitivas que producen el producto final consideran los precios de los insumos como dados. Para el problema de minimización de costos de un productor representativo de productos, el Lagrangiano para el problema de producir una unidad de producto al costo mínimo está dado por $$ \mathcal{L}=\int_{i=0}^{A} p(i) L(i) di-\lambda\left\{\left[\int_{i=0}^{A}L(i)^{\phi}di\right]^{\frac{1}{\phi}}-1\right\}, $$ donde $p(i)$ es el precio cobrado por el titular de la patente en la idea $i$ por cada unidad del insumo que incorpora esa idea.

El texto deriva el resultado de que la condición de primer orden para un $L(i)$ individual es $$ p(i) = \lambda L(i)^{\phi -1}, $$ y luego nos da la pista de que

Se podría usar la condición de que $\left[\int_{i=0}^{A}L(i)^{\phi}di\right]^{\frac{1}{\phi}} = 1$ para resolver $\lambda$, y luego resolver los niveles de minimización de costos de los $L(i)$ y el nivel de costo marginal.

Sin embargo, no estoy seguro de cómo proceder y no puedo derivar una expresión para (1) el costo marginal y (2) el costo promedio, que deberían ser iguales aquí. Además, ¿cómo demostramos que cuando el costo marginal es igual al costo promedio, el beneficio es cero?

Answer 1

El problema de minimización de costos (en general) está dado por: $$ \min_{L_i} \int_0^A p(i) L(i) di \text{ s.t. } \left(\int_0^A L(i)^{\phi}\right)^{1/\phi} = y. $$ donde $y$ es el nivel de producción.

El Lagrangiano está dado por: $$ L = \int_0^A p(i) L(i) - \lambda \left( \left(\int_0^A L(i)^\phi\right)^{1/\phi} - y\right). $$ Las condiciones de primer orden son: $$ \begin{align*} &p(i) = \lambda L(i)^{\phi - 1},\\ &\left(\int_0^A L(i)^\phi\right)^{1/\phi} = y. \end{align*} $$

La primera condición da: $$ L(i) = \left(\frac{p(i)}{\lambda}\right)^{1/(\phi - 1)} $$ Sustituyendo en la segunda condición se obtiene: $$ \begin{align*} &\lambda^{-1/(\phi - 1)} \left(\int_0^A p(i)^{\phi/(\phi - 1)}\right)^{1/\phi} = y.\\ \leftrightarrow& \lambda = y^{(1-\phi)} \left(\int_0^A p(i)^{\phi/(\phi - 1)}\right)^{(\phi - 1)/\phi} \end{align*} $$

Esto da: $$ L(i) = y p(i)^{1/(\phi - 1)} \left(\int_0^A p(j)^{\phi/(\phi - 1)}\right)^{-1/\phi}. $$

Entonces la función de costos es: $$ c(p,y) = \int_0^A p(i) L(i) = y \left(\int_0^A p(i)^{\phi/(\phi - 1)}\right)^{(\phi - 1)/\phi} $$

El costo promedio es: $$ \frac{c(p,y)}{y} = \left(\int_0^A p(i)^{\phi/(\phi - 1)}\right)^{(\phi - 1)/\phi} $$ El costo marginal es: $$ \frac{\partial c(p,y)}{\partial y} = \left(\int_0^A p(i)^{\phi/(\phi - 1)}\right)^{(\phi - 1)/\phi} $$ Por lo tanto, ambos son iguales.

Para demostrar que las ganancias son cero (bajo rendimientos constantes a escala) el problema es un poco más sutil ya que depende de los efectos de equilibrio de mercado. Nota que las ganancias pueden escribirse como: $$ Py - \text{ cost} = (P - AC)y. $$ Donde $P$ es el precio de la producción y $AC$ son los costos promedio. Supongamos que $AC$ es constante en el sentido de que no dependen de $y$, (lo cual es el caso bajo rendimientos constantes a escala). Entonces si $P < AC$, las ganancias son negativas a menos que $y = 0$. En este caso, lo óptimo para la empresa es fijar $y = 0$, lo que básicamente significa que la empresa sale del mercado.

Si $P > AC$ entonces las ganancias son estrictamente positivas, y lo óptimo para la empresa es fijar $y$ muy grande ($= \infty$). Estas ganancias también atraerán a otras empresas al mercado. Este aumento en la producción llevará a una disminución en el nivel de precios $P$ (efectos de equilibrio) hasta que no haya más ganancias. Entonces en equilibrio, las ganancias serán cero y el precio de equilibrio será tal que $P = AC$. En otras palabras, con rendimientos constantes a escala, es imposible determinar el nivel de producción de cada empresa (y por lo tanto el número de empresas en el mercado). Sin embargo, la producción total del mercado está determinada por la condición que iguala las ganancias a cero.